Enunciado

Usando a regra de Simpson, calcule o valor de ∫ 1 2 d x x com precisão de 4 casas decimais. Compare o resultado com o valor de l n ( 2 ) .

Passo 1

Primeiro temos que encontrar o número mínimo de intervalos que garante uma precisão de 4 casas decimais, ou seja, 1 0 - 4 .   Então:

| E | ≤ n h 5 180 ∙ m a x x ∈ [ a , b ] | f ( i v ) ( x ) |

Agora precisamos achar a 4ª derivada:

f ( 4 ) ( x ) = 24 x 5

O valor máximo dessa derivada no intervalo ( 1,2 ) acontece em f ( 4 ) ( 1 ) = 24 .

Por fim, usando a relação h = b - a n t e m o s :

1 180 n 4 24 ≤ 1 0 - 4

n ≥ 6.043

E como n deve ser inteiro e par,

n ≥ 8

Passo 2

Subdivindo o intervalo em 8 partes de h=0.125, obtemos:

∫ 1 2 d x x ≈ 0.125 3 [ 1 + 4 ( 2.7649 ) + 2 ( 2.0381 ) + 0.5 ]

∫ 1 2 d x x ≈ 0.69316

O resultado exato seria l n ( 2 ) = 0.69314718

O erro foi de E A = | 0.69316 - 0.69314718 | = 0.1282 × 1 0 - 4 .

Menor que 1 0 - 4 , assim como já era de se esperar.

Resposta

∫ 1 2 d x x ≈ 0.69316

E A = | 0.69316 - 0.69314718 | = 0.1282 × 1 0 - 4

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