Método do Ponto Fixo (MPF)
Teoria
Introdução
Opa, chega mais!! Vamos começar mais um tópico da disciplina de Cálculo Numérico.
Se eu te pedisse pra encontrar uma raíz da função , no intervalo você saberia me dizer com facilidade? Caso não saiba, fique tranquilo!! Iremos mostrar aqui um novo método para encontrar esse zero da função: o Método do Ponto Fixo.
Nem sempre é fácil achar os zeros de uma função, às vezes as técnicas que aprendemos são ineficientes e acabamos dando voltas e mais voltas sem conseguir resolver o problema e encontrar as raízes da função.
Muitas vezes quando nos deparamos com um problema difícil de resolver nós substituímos ele por outro equivalente mais fácil de resolver. E é exatamente isso que vamos fazer neste tópico! Substituir o problema de encontrar os zeros da função por outro problema: Encontrar o ponto fixo de uma outra função! Calma que já já vamos ver como funciona esse macete!
Ponto Fixo de uma função qualquer
Primeiro vamos entender o que é o tal do Ponto Fixo de uma função. O ponto fixo de uma função é simplesmente um ponto tal que . Ou seja, é um ponto onde a função encontra a reta , de modo que o valor da função em um ponto vale ele mesmo.
Por exemplo:
A função tem como ponto fixo o ponto porque
A função tem como ponto fixo porque
AAAAh, e nada impede de uma função ter mais de 1 ponto fixo. Por exemplo:
A função tem como ponto fixo e
Ok, mas o que isso tem a ver com os zeros de uma função? Vem comigo que já vou explicar...
Método do Ponto Fixo
Imagina que queremos encontrar as raízes de uma função , mas não conseguimos encontrar a resposta igualando a função a zero…
Para resolver esse problema podemos aplicar o Método do Ponto Fixo. O método simplesmente quer transformar a equação em uma equação equivalente .
Ok ... um pouco mais devagar... O que está acontecendo aqui? Vamos tentar entender aos poucos, beleza?!
A partir da expressão (que é nosso problema inicial) podemos determinar uma nova expressão e encontrar as raízes da equação.
Note que o que é raiz de e ponto fixo da !
Essa função é chamada de função de iteração! E ela tem essa cara:
Ou seja, o valor do x atual () depende do valor da função anterior .
Mas como funciona na prática essa ? Vamos ver um exemplo:
Exemplo
Começando com , calcule a função e encontre os próximos valores aplicados no ponto.
Vamos começar calculando o da função:
Agora, utilize o valor que você encontrou para aplicar novamente na função
…
Percebe que os valores cada vez mais estão se aproximando? Convergindo para um número? Você está observando o processo de convergência. Isso porque é o ponto fixo dessa função.
Aí você pode me perguntar: Beleza, mas que que isso tudo tem haver com os zeros da função que queríamos calcular desde o começo?
A resposta é que quanto mais próximo o valor de em chegar no zero da função, mas próximo o valor de x chega do ponto fixo de !
Ou seja, quanto mais próximo a gente estiver de encontrar o ponto fixo de também estaremos mais próximos de encontrar o valor do zero da função.
Lindo, não?! hahaha
Tá, mas e como encontrar a função a partir da ?
Bom, existem infinitas funções de iteração para a equação . O que elas possuem em comum é a forma geral:
onde, seja raiz de , e .
Vamos tentar um exemplo prático?!
Exemplo
Seja . Queremos encontrar uma raiz no intervalo . Tome .
Vamos lá! Precisamos encontrar nossa . Temos que , pois queremos uma raíz. Podemos isolar o nessa equação :
Lembra que a carinha da função de iteração é ?! Então conseguimos encontrar a nossa !!
Já calculamos seu ponto fixo anteriormente:
Se o ponto fixo então é , então encontramos a raíz procurada! Show de bola?!
Assim, a raiz de no intervalo é .
Estudo da Convergência
Opa, ali em cima tava escrito infinitas funções?
Seria ótimo se todas as funções de interação funcionassem e convergissem para um ponto fixo né? BUT, infelizmente isso não acontece sempre.
O problema aqui é que nem toda vai convergir para a raíz, por mais que ela tenha a raíz como ponto fixo! Vou te dar um exemplo:
A equação tem como raiz . Há duas funções de iteração possíveis para ela:
Vamos analisar primeiro , usando chute inicial :
Bom, definitivamente não está convergindo para o né?!
Agora vamos ver com e novamente :
Agora sim né?! Estamos claramente convergindo para o !
E agora? Como vamos saber se escolhemos certo? Temos que começar a testar? Não! Por sorte alguém inventou um teorema que nos dá condições suficientes para que o processo seja convergente. Precisamos do seguinte:
Seja uma raiz da equação , isolada num intervalo centrado em e seja uma função de iteração para a equação .
Se
e são contínuas em ;
, para todo ,
então o processo iterativo converge para .
Outro detalhe interessante é que, satisfeitas as condições acima, quanto menor for no ponto fixo de mais rápido esse método irá convergir para a raíz! Então, a melhor função de iteração será a que tiver o menor , onde é ponto fixo de .Vamos verificar esse teorema? Vamos testar a do nosso exemplo:
Ambas são contínuas em então não teríamos problemas com algum intervalo .
Opa, repare que é impossível termos um intervalo centrado em com . Por isso ela não convergiu para a raíz!
Vamos verificar a :
Temos que é contínua em e é contínua em todos os reais menos o . Então ainda é possível termos um intervalo centrado em , basta que não englobe o .
Aqui nossa única restrição é que e . Então existem vários intervalos centrados em possíveis que contenham e satisfaçam as condições acima, como por exemplo . E foi por isso que ela convergiu, belezinha?! ;)
Critério de Parada
Repare que esse método não usa mais um intervalo, mas um chute inicial! Ou seja, não faria mais sentido usarmos como critério de parada! O que usaremos agora será a variação do valor de entre duas iterações. Dessa forma, nosso critério de parada será:
Isso normalmente indica que estamos bem perto da raiz. No entanto em alguns casos esse critério pode ser “enganado” pelo comportamento da função, então é bom ficar de olho também no valor da função Esse inclusive é outro critério de parada usado nesse método:
Algoritmo
Chegamos na parte do Algoritmo novamente, onde eu escrevo o procedimento da maneira mais simples possível para ser passada para alguma linguagem. Vamos lá então:
Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
a. Aproximação inicial
b. Precisão do resultado final e
Passo 2. Definimos um contador de iterações .
Passo 3. Se , escolha como e FIM. Caso contrário, continue para o Passo 4.
Passo 4. , aumentamos uma iteração no contador.
Passo 5.
Passo 6. Se , escolha como e FIM. Caso contrário continue para o Passo 7.
Passo 7.
Passo 8. Voltamos para o Passo .
Como sempre, um bom critério de parada para se adicionar também é um número máximo de iterações.
O chato aqui é que para cada função que formos encontrar o zero teremos que definí-la e definir também uma para ela no nosso programa, ou seja, mais trabalho pra gente... mas é a vida! ahahahaha
Agora vamos exercitar! Mas repito, o mais importante aqui é que o conceito tenha sido bem entendido!!! 😊
Método do Ponto Fixo
Exemplo
Exemplo
Estudo da Convergência
Critério de Parada
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 65, exercício 6 adaptado
Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão de para a equação no intervalo . Use
Passo 1
Primeiro precisamos encontrar uma função de iteração convergente. Se liga:
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
é contínua em todo e é contínua em todo menos o .
Como nossa raiz está no intervalo , não será problema definir um intervalo centralizado na raiz e que contenha obedecendo às condições acima. Logo, essa função converge para a nossa raiz.
Passo 2
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #2
Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item i Adaptada
Seja . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de .
Obs.: Desconsidere a raiz .
Passo 1
Poxa, tava molinho pra gente né? Mas não tem problema, vamos achar a outra raiz:
Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo !
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
é contínua para , ou seja, , . O que quer dizer que ela é contínua em , o que engloba nosso intervalo .
é contínua para , ou seja, . O que quer dizer que ela é contínua em , o que engloba nosso intervalo .
A função é decrescente no intervalo . Como e , é seguro afirmar que em nenhum momento seu módulo é maior que no intervalo .
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 3
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #3
Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item iv Adaptada
Seja . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de .
Passo 1
Vamos encontrar o intervalo onde essa raiz ta se escondendo:
Dessa vez temos que tomar cuidado já que a função não está definida no .
Eita, achamos a raiz. Bom, vamos fingir que não achamos e continuar pra praticar um pouco haha. Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo !
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
Ambas e são contínuas para , o que faz elas contínuas em
Então no final das contas precisamos que , o que não causa nenhum problema pra gente criar o intervalo centrado em (que nós sabemos ser a raiz).
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 3
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é , o que é bem próximo do né? haha
Resposta
.
Exercício Resolvido #4
Lista 1 – UTFPR – Professor Msc Tatiane Cazarin da Silva – Questão 11
Encontre o zero de com precisão usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar uma aproximação inicial:
Eita, e agora? Vamos tentar outros valores né, fazer o que:
Opa, estamos mais perto do , vamos tentar descer mais:
Beleza, nosso intervalo é .
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Precisamos daquele pois estamos trabalhando em um intervalo negativo.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
Ambas e são contínuas em .
Temos que é decrescente e , . Logo, é seguro falarmos que no intervalo dado.
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 3
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #5
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 65, exercício 12b adaptado
Encontre o zero de no intervalo com precisão usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Ao invés de usarmos aquele teorema vamos direto para o método e testamos por ele ;)
Passo 2
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Encontre o zero de no intervalo com precisão usando o Método do Ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Aqui ta meio ruim de isolar o né? Nesses casos podemos usar aquela fórmula geral que vimos na teoria:
Logo, uma possível função de iteração seria
Beleza, achamos uma função de iteração. Ao invés de usarmos aquele teorema vamos direto para o método e testamos por ele ;)
Passo 2
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #7
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 5
Suponha que . Certifique-se que as seguintes funções de iteração:
possuem o ponto fixo . Qual dessas funções você utilizaria para obter uma aproximação de pelo Método do Ponto Fixo? Explique sua escolha.
Passo 1
Se é ponto fixo dessas funções então:
Beleza, ambas as funções de iteração tem como ponto fixo.
Passo 2
Agora o problema é, qual escolheríamos? O lógico seria escolhermos a que converge para o ponto fixo mais rapidamente certo? E lembra que quanto menor o módulo da derivada da função de iteração mais rápido o método vai convergir? Então queremos a função que tenha a menor derivada no ponto fixo.
Agora para a segunda função:
A segunda função de iteração tem módulo da derivada igual a zero no ponto fixo! Então ela é a melhor escolha para função de iteração já que converge mais rapidamente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #8
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 4a
Seja . Determine uma função de iteração e um intervalo no qual as iterações do Método do Ponto Fixo convergirão para uma raiz positiva de . Encontre as soluções com precisão de .
Passo 1
Vamos usar como função de iteração
Passo 2
Agora precisamos encontrar um intervalo que contenha alguma raiz:
Então um intervalo é . Agora vamos na fé que vai dar certo haha.
Passo 3
Tomando :
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, chegamos no nosso critério de parada! Tranquilo né? Esse é o poder que uma boa escolha de função de iteração tem, mas pra saber qual usar e quando usar só praticando mesmo =/
Então nossa raiz é .
Resposta
Exercício Resolvido #9
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 4b
Seja . Determine uma função de iteração e um intervalo no qual as iterações do Método do Ponto Fixo convergirão para uma raiz positiva de . Encontre as soluções com precisão de .
Passo 1
Vamos usar como função de iteração .
Passo 2
Agora precisamos encontrar um intervalo que contenha alguma raiz:
Então um intervalo é .
Temos que para todos os reais.
Logo, nossa função de iteração vai convergir no intervalo .
Passo 3
Tomando :
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
Exercício Resolvido #10
Lista 1 – UTFPR – Prof Msc Tatiane Cazarin da Silva – Questão 14
Seja :
Mostre que possui uma raiz em .
Mostre que é uma possível função de iteração obtida a partir de .
Verifique se satisfaz as condições e do Teorema de Convergência.
Encontre uma estimativa para a raiz de através do método do ponto fixo e usando a função do item tal que .
Passo 1
Para mostrar que possui uma raiz nesse intervalo é só compararmos o valor dela nos extremos:
Logo, existe uma raiz em .
Passo 2
Fazendo algumas manipulações algébricas temos:
Pronto, é uma possível função de iteração obtida a partir de .
Passo 3
Vamos começar pela condição :
Ambas são contínuas em , logo a condição é satisfeita.
Condição :
Sendo assim, no intervalo a função só não satisfaz as condições para o extremo .
Passo 4
Tomando :
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Fim de papo, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta