Método do Ponto Fixo (MPF)
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Introdução
Opa, chega mais!! Vamos começar mais um tópico da disciplina de Cálculo Numérico.
Se eu te pedisse pra encontrar uma raíz da função , no intervalo você saberia me dizer com facilidade? Caso não saiba, fique tranquilo!! Iremos mostrar aqui um novo método para encontrar esse zero da função: o Método do Ponto Fixo.
Nem sempre é fácil achar os zeros de uma função, às vezes as técnicas que aprendemos são ineficientes e acabamos dando voltas e mais voltas sem conseguir resolver o problema e encontrar as raízes da função.
Muitas vezes quando nos deparamos com um problema difícil de resolver nós substituímos ele por outro equivalente mais fácil de resolver. E é exatamente isso que vamos fazer neste tópico! Substituir o problema de encontrar os zeros da função por outro problema: Encontrar o ponto fixo de uma outra função! Calma que já já vamos ver como funciona esse macete!
Ponto Fixo de uma função qualquer
Primeiro vamos entender o que é o tal do Ponto Fixo de uma função. O ponto fixo de uma função é simplesmente um ponto tal que . Ou seja, é um ponto onde a função encontra a reta , de modo que o valor da função em um ponto vale ele mesmo.
Por exemplo:
A função tem como ponto fixo o ponto porque
A função tem como ponto fixo porque
AAAAh, e nada impede de uma função ter mais de 1 ponto fixo. Por exemplo:
A função tem como ponto fixo e
Ok, mas o que isso tem a ver com os zeros de uma função? Vem comigo que já vou explicar...
Método do Ponto Fixo
Imagina que queremos encontrar as raízes de uma função , mas não conseguimos encontrar a resposta igualando a função a zero…
Para resolver esse problema podemos aplicar o Método do Ponto Fixo. O método simplesmente quer transformar a equação em uma equação equivalente .
Ok ... um pouco mais devagar... O que está acontecendo aqui? Vamos tentar entender aos poucos, beleza?!
A partir da expressão (que é nosso problema inicial) podemos determinar uma nova expressão e encontrar as raízes da equação.
Note que o que é raiz de e ponto fixo da !
Essa função é chamada de função de iteração! E ela tem essa cara:
Ou seja, o valor do x atual () depende do valor da função anterior .
Mas como funciona na prática essa ? Vamos ver um exemplo:
Exemplo
Começando com , calcule a função e encontre os próximos valores aplicados no ponto.
Vamos começar calculando o da função:
Agora, utilize o valor que você encontrou para aplicar novamente na função
…
Percebe que os valores cada vez mais estão se aproximando? Convergindo para um número? Você está observando o processo de convergência. Isso porque é o ponto fixo dessa função.
Aí você pode me perguntar: Beleza, mas que que isso tudo tem haver com os zeros da função que queríamos calcular desde o começo?
A resposta é que quanto mais próximo o valor de em chegar no zero da função, mas próximo o valor de x chega do ponto fixo de !
Ou seja, quanto mais próximo a gente estiver de encontrar o ponto fixo de também estaremos mais próximos de encontrar o valor do zero da função.
Lindo, não?! hahaha
Tá, mas e como encontrar a função a partir da ?
Bom, existem infinitas funções de iteração para a equação . O que elas possuem em comum é a forma geral:
onde, seja raiz de , e .
Vamos tentar um exemplo prático?!
Exemplo
Seja . Queremos encontrar uma raiz no intervalo . Tome .
Vamos lá! Precisamos encontrar nossa . Temos que , pois queremos uma raíz. Podemos isolar o nessa equação :
Lembra que a carinha da função de iteração é ?! Então conseguimos encontrar a nossa !!
Já calculamos seu ponto fixo anteriormente:
Se o ponto fixo então é , então encontramos a raíz procurada! Show de bola?!
Assim, a raiz de no intervalo é .
Estudo da Convergência
Opa, ali em cima tava escrito infinitas funções?
Seria ótimo se todas as funções de interação funcionassem e convergissem para um ponto fixo né? BUT, infelizmente isso não acontece sempre.
O problema aqui é que nem toda vai convergir para a raíz, por mais que ela tenha a raíz como ponto fixo! Vou te dar um exemplo:
A equação tem como raiz . Há duas funções de iteração possíveis para ela:
Vamos analisar primeiro , usando chute inicial :
Bom, definitivamente não está convergindo para o né?!
Agora vamos ver com e novamente :
Agora sim né?! Estamos claramente convergindo para o !
E agora? Como vamos saber se escolhemos certo? Temos que começar a testar? Não! Por sorte alguém inventou um teorema que nos dá condições suficientes para que o processo seja convergente. Precisamos do seguinte:
Seja uma raiz da equação , isolada num intervalo centrado em e seja uma função de iteração para a equação .
Se
e são contínuas em ;
, para todo ,
então o processo iterativo converge para .
Outro detalhe interessante é que, satisfeitas as condições acima, quanto menor for no ponto fixo de mais rápido esse método irá convergir para a raíz! Então, a melhor função de iteração será a que tiver o menor , onde é ponto fixo de .Vamos verificar esse teorema? Vamos testar a do nosso exemplo:
Ambas são contínuas em então não teríamos problemas com algum intervalo .
Opa, repare que é impossível termos um intervalo centrado em com . Por isso ela não convergiu para a raíz!
Vamos verificar a :
Temos que é contínua em e é contínua em todos os reais menos o . Então ainda é possível termos um intervalo centrado em , basta que não englobe o .
Aqui nossa única restrição é que e . Então existem vários intervalos centrados em possíveis que contenham e satisfaçam as condições acima, como por exemplo . E foi por isso que ela convergiu, belezinha?! ;)
Critério de Parada
Repare que esse método não usa mais um intervalo, mas um chute inicial! Ou seja, não faria mais sentido usarmos como critério de parada! O que usaremos agora será a variação do valor de entre duas iterações. Dessa forma, nosso critério de parada será:
Isso normalmente indica que estamos bem perto da raiz. No entanto em alguns casos esse critério pode ser “enganado” pelo comportamento da função, então é bom ficar de olho também no valor da função Esse inclusive é outro critério de parada usado nesse método:
Algoritmo
Chegamos na parte do Algoritmo novamente, onde eu escrevo o procedimento da maneira mais simples possível para ser passada para alguma linguagem. Vamos lá então:
Passo 1. Dados iniciais (o que seu programa vai receber de você):
a. Aproximação inicial
b. Precisão do resultado final e
Passo 2. Definimos um contador de iterações .
Passo 3. Se , escolha como e FIM. Caso contrário, continue para o Passo 4.
Passo 4. , aumentamos uma iteração no contador.
Passo 5.
Passo 6. Se , escolha como e FIM. Caso contrário continue para o Passo 7.
Passo 7.
Passo 8. Voltamos para o Passo .
Como sempre, um bom critério de parada para se adicionar também é um número máximo de iterações.
O chato aqui é que para cada função que formos encontrar o zero teremos que definí-la e definir também uma para ela no nosso programa, ou seja, mais trabalho pra gente... mas é a vida! ahahahaha
Agora vamos exercitar! Mas repito, o mais importante aqui é que o conceito tenha sido bem entendido!!! 😊
Método do Ponto Fixo
Exemplo
Exemplo
Estudo da Convergência
Critério de Parada
Algoritmo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 65, exercício 6 adaptado
Use o método do Ponto Fixo para determinar a solução com precisão de para a equação no intervalo . Use
Passo 1
Primeiro precisamos encontrar uma função de iteração convergente. Se liga:
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
é contínua em todo e é contínua em todo menos o .
Como nossa raiz está no intervalo , não será problema definir um intervalo centralizado na raiz e que contenha obedecendo às condições acima. Logo, essa função converge para a nossa raiz.
Passo 2
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #2
Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item i Adaptada
Seja . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de .
Obs.: Desconsidere a raiz .
Passo 1
Poxa, tava molinho pra gente né? Mas não tem problema, vamos achar a outra raiz:
Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo !
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
é contínua para , ou seja, , . O que quer dizer que ela é contínua em , o que engloba nosso intervalo .
é contínua para , ou seja, . O que quer dizer que ela é contínua em , o que engloba nosso intervalo .
A função é decrescente no intervalo . Como e , é seguro afirmar que em nenhum momento seu módulo é maior que no intervalo .
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 3
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #3
Lista 2 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 3 – Item iv Adaptada
Seja . Determine um intervalo onde se encontre uma raiz e encontre uma função de iteração convergente para qualquer no intervalo. Em seguida, aplique o método do ponto fixo para encontrar uma aproximação da raiz com precisão de .
Passo 1
Vamos encontrar o intervalo onde essa raiz ta se escondendo:
Dessa vez temos que tomar cuidado já que a função não está definida no .
Eita, achamos a raiz. Bom, vamos fingir que não achamos e continuar pra praticar um pouco haha. Beleza, sabemos que existe uma raiz no intervalo !
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
Ambas e são contínuas para , o que faz elas contínuas em
Então no final das contas precisamos que , o que não causa nenhum problema pra gente criar o intervalo centrado em (que nós sabemos ser a raiz).
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 3
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é , o que é bem próximo do né? haha
Resposta
.
Exercício Resolvido #4
Lista 1 – UTFPR – Professor Msc Tatiane Cazarin da Silva – Questão 11
Encontre o zero de com precisão usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar uma aproximação inicial:
Eita, e agora? Vamos tentar outros valores né, fazer o que:
Opa, estamos mais perto do , vamos tentar descer mais:
Beleza, nosso intervalo é .
Passo 2
Agora vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Precisamos daquele pois estamos trabalhando em um intervalo negativo.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Agora vamos testar se ela é convergente:
Ambas e são contínuas em .
Temos que é decrescente e , . Logo, é seguro falarmos que no intervalo dado.
Logo, podemos ver que essa função de iteração converge.
Passo 3
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #5
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 65, exercício 12b adaptado
Encontre o zero de no intervalo com precisão usando o Método do ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Como ,
Beleza, achamos uma função de iteração. Ao invés de usarmos aquele teorema vamos direto para o método e testamos por ele ;)
Passo 2
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #6
Elaboração Própria
Encontre o zero de no intervalo com precisão usando o Método do Ponto Fixo. Escolha uma função de iteração apropriada e um ponto inicial .
Passo 1
Primeiro vamos encontrar uma função de iteração convergente.
Aqui ta meio ruim de isolar o né? Nesses casos podemos usar aquela fórmula geral que vimos na teoria:
Logo, uma possível função de iteração seria
Beleza, achamos uma função de iteração. Ao invés de usarmos aquele teorema vamos direto para o método e testamos por ele ;)
Passo 2
Vamos tomar como estimativa inicial
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
.
Exercício Resolvido #7
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 5
Suponha que . Certifique-se que as seguintes funções de iteração:
possuem o ponto fixo . Qual dessas funções você utilizaria para obter uma aproximação de pelo Método do Ponto Fixo? Explique sua escolha.
Passo 1
Se é ponto fixo dessas funções então:
Beleza, ambas as funções de iteração tem como ponto fixo.
Passo 2
Agora o problema é, qual escolheríamos? O lógico seria escolhermos a que converge para o ponto fixo mais rapidamente certo? E lembra que quanto menor o módulo da derivada da função de iteração mais rápido o método vai convergir? Então queremos a função que tenha a menor derivada no ponto fixo.
Agora para a segunda função:
A segunda função de iteração tem módulo da derivada igual a zero no ponto fixo! Então ela é a melhor escolha para função de iteração já que converge mais rapidamente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #8
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 4a
Seja . Determine uma função de iteração e um intervalo no qual as iterações do Método do Ponto Fixo convergirão para uma raiz positiva de . Encontre as soluções com precisão de .
Passo 1
Vamos usar como função de iteração
Passo 2
Agora precisamos encontrar um intervalo que contenha alguma raiz:
Então um intervalo é . Agora vamos na fé que vai dar certo haha.
Passo 3
Tomando :
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Beleza, chegamos no nosso critério de parada! Tranquilo né? Esse é o poder que uma boa escolha de função de iteração tem, mas pra saber qual usar e quando usar só praticando mesmo =/
Então nossa raiz é .
Resposta
Exercício Resolvido #9
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 4b
Seja . Determine uma função de iteração e um intervalo no qual as iterações do Método do Ponto Fixo convergirão para uma raiz positiva de . Encontre as soluções com precisão de .
Passo 1
Vamos usar como função de iteração .
Passo 2
Agora precisamos encontrar um intervalo que contenha alguma raiz:
Então um intervalo é .
Temos que para todos os reais.
Logo, nossa função de iteração vai convergir no intervalo .
Passo 3
Tomando :
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta
Exercício Resolvido #10
Lista 1 – UTFPR – Prof Msc Tatiane Cazarin da Silva – Questão 14
Seja :
Mostre que possui uma raiz em .
Mostre que é uma possível função de iteração obtida a partir de .
Verifique se satisfaz as condições e do Teorema de Convergência.
Encontre uma estimativa para a raiz de através do método do ponto fixo e usando a função do item tal que .
Passo 1
Para mostrar que possui uma raiz nesse intervalo é só compararmos o valor dela nos extremos:
Logo, existe uma raiz em .
Passo 2
Fazendo algumas manipulações algébricas temos:
Pronto, é uma possível função de iteração obtida a partir de .
Passo 3
Vamos começar pela condição :
Ambas são contínuas em , logo a condição é satisfeita.
Condição :
Sendo assim, no intervalo a função só não satisfaz as condições para o extremo .
Passo 4
Tomando :
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Fim de papo, alcançamos o critério de parada! Então nossa aproximação é .
Resposta