Método de Newton Raphson

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Teoria

Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! E agora vamos bater um papo sobre o Método de Newton Raphson

Método de Newton Raphson

Fórmula do método de Newton Raphson

O método de Newton-Raphson é um tipo de método do ponto fixo que utiliza uma técnica diferente pra refinamento.

O que esse método faz é minimizar o valor da função de iteração no ponto fixo acelerando a convergência do método do ponto fixo.

E como calculamos isso matematicamente?

Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:

Convergência do método de Newton Raphson

Geralmente o método de Newton converge desde que nosso palpite inicial seja escolhido “suficientemente próximo” da raiz ξ , satisfazendo as hipóteses de convergência do MPF.

Ou seja, com uma boa escolha de a convergência do método é garantida pelo seguinte teorema

Teorema
Teorema

Critério de parada

Basicamente, aplicamos os critérios de convergência e iteração até que o valor de atenda ao critério de parada!

Beleza, nós já vimos qual a função de iteração desse método, e como ele é uma derivação do Método do Ponto Fixo, ele necessita exatamente das mesmas coisas!

Ele precisa de um chute inicial e o critério de parada será:

E, novamente, outro critério usado é:

Prova geométrica do método de Newton Raphson

O método de Newton Raphson também pode ser obtido geometricamente.

Dado o ponto , traçamos a reta tangente à curva neste ponto. A fórmula da reta tangente é dada por:

Essa reta funciona como uma aproximação para a função na vizinhança de . Ou seja, quanto mais próximo de estivermos, melhor a reta tangente aproxima a própria função.

Obtenção geométrica do método de Newton Raphson
Obtenção geométrica do método de Newton Raphson

E como nosso chute deve estar próximo da raiz de , consideramos a aproximação como uma aproximação boa o suficiente para encontrar o zero de e fazemos:

Exercício

Calcule o valor de pelo método de Newton Raphson usando

Prova geométrica do método de Newton Raphson

Exercício

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Seja f x = - x 3 - cos ⁡ x e x 0 = - 1 . Use o Método de Newton para encontrar x 2 . O valor x 0 = 0 poderia ser usado?

Passo 1

Só aplicar o algoritmo:

Cálculos Iniciais

f ' x = - 3 x 2 + sin ⁡ x

g x = x + x 3 + cos ⁡ x - 3 x 2 + sin ⁡ x

x 0 = - 1

x 1 = g x 0 = - 0.88033

x 2 = g x 1 = - 0.86568

Taí o nosso x 2 .

A próxima pergunta é, x 0 = 0 poderia ser usado? Não poderia pois a derivada nesse ponto vale 0 :

f ' 0 = - 3 0 2 + sin ⁡ 0 = 0

Isso nos criaria uma indeterminação na nossa função de iteração.

Resposta

x 2 = - 0.86568 .

Não poderia pois criaria uma indeterminação na nossa função de iteração.

Exercício Resolvido #2

Dê um exemplo de função f x , que tenha pelo menos uma raiz, onde o Método de Newton-Raphson não converge sempre.

Passo 1

-

Um exemplo de função para a qual o método de Newton não converge sempre é f x = a r c t g x . A sequência diverge para valores acima de x ≅ 1.3917 e para valores abaixo de x ≅ - 1.3917 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10 - 5 para os seguintes problemas:

a e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 = 0 para 1 ≤ x ≤ 2

b 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 = 0 para 2 ≤ x ≤ 3 e 3 ≤ x ≤ 4

c x - 2 2 - ln ⁡ x = 0 para 1 ��� x ≤ 2 e e ≤ x ≤ 4

d e x - 3 x 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 1 e 3 ≤ x ≤ 5

Passo 1

a Intervalo 1,2

Cálculos Iniciais

f x = e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6

f ' x = e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

g x = x - e x + 2 - x + 2 cos ⁡ x - 6 e x - 2 - x ln ⁡ 2 - 2 sin ⁡ x

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.850521

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.149479 > 10 - 5

f x 1 = 0.088245 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.850521

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.829751

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02077 > 10 - 5

f x 2 = 0.001508 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.829751

ε 1 = ε 2 = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.829384

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000367 > 10 - 5

f x 3 = 4.6 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.829384 .

Passo 2

b Intervalo 2,3

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 2.550769

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.550769 > 10 - 5

f x 1 = 1.632185 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 2.550769

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 2.371359

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.179411 > 10 - 5

f x 2 = 0.005908 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 2.371359

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 2.370687

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000671 > 10 - 5

f x 3 = 1.2 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 2.371359 .

Passo 3

b Intervalo 3,4

Cálculos Iniciais

f x = 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2

f ' x = - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

g x = x - 2 x cos ⁡ 2 x - x - 2 2 - 2 x - 4 x sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x + 4

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.743349

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.256651 > 10 - 5

f x 1 = 0.350935 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.743349

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.72239

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.02096 > 10 - 5

f x 2 = 0.004513 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.72239

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.722113

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000277 > 10 - 5

f x 3 = 8.1 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.722113 .

Passo 4

c Intervalo 1,2

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 1 x - 4

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.333333

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.333333 > 10 - 5

f x 1 = 0.156762 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.333333

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.408579

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.075246 > 10 - 5

f x 2 = 0.007197 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.408579

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.412382

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.003802 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 1.412382

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1.412391

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 9.6 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 1.1 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1.412391 .

Passo 5

c Intervalo e , 4

Cálculos Iniciais

f x = x - 2 2 - ln ⁡ x

f ' x = 2 x - 1 x - 4

g x = x - x - 2 2 - ln ⁡ x 2 x - 1 x - 4

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.303012

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.696988 > 10 - 5

f x 1 = 0.503005 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.303012

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.084624

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.218387 > 10 - 5

f x 2 = 0.04998 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.084624

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.057536

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.027089 > 10 - 5

f x 3 = 0.000773 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.057536

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.057104

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000432 > 10 - 5

f x 4 = 2 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.057104 .

Passo 6

d Intervalo 0,1

Cálculos Iniciais

f x = e x - 3 x 2

f ' x = e x - 6 x

g x = x - e x - 3 x 2 e x - 6 x

x 0 = 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.914155

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.085845 > 10 - 5

f x 1 = 0.012373 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.914155

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.910017

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.004137 > 10 - 5

f x 2 = 3 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.910017

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.910008

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 1.01 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 1.8 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.910008 .

Passo 7

d Intervalo 3,5

Cálculos Iniciais

f x = e x - 3 x 2

f ' x = e x - 6 x

g x = x - e x - 3 x 2 e x - 6 x

x 0 = 4

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.784361

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.215639 > 10 - 5

f x 1 = 1.043379 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.784361

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.735379

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.218387 > 10 - 5

f x 2 = 0.04998 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.735379

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.733084

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.002295 > 10 - 5

f x 3 = 9.5 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.733084

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.733079

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 4.9 ∙ 10 - 6 < 10 - 5

f x 4 = 4.2 ∙ 10 - 10 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.733079 .

Resposta

a Intervalo 1,2 : x - = 1.829384

b Intervalo 2,3 : x - = 2.371359

Intervalo 3,4 : x - = 3.722113

c Intervalo 1,2 : x - = 1.412391

Intervalo e , 4 : x - = 3.057104

d Intervalo 0,1 : x - = 0.910008

Intervalo 3,5 : x - = 3.733079

Exercício Resolvido #4

Calcule 26 5 pelo método de Newton-Raphson. Considere ε = 10 - 5 .

Passo 1

Uma forma de se calcular o valor de 26 5 é dessa forma:

26 5 5 = 26

26 5 5 - 26 = 0

x 5 - 26 = 0

Passo 2

Agora precisamos de um chute inicial. 26 5 está em algum lugar entre   1 5 e   32 5 . Ou seja, está em algum lugar entre 1 e 2 . Logo, temos nosso intervalo. Como 26 é mais próximo de 32 que de 1 , vamos usar x 0 = 2 como aproximação inicial.

Passo 3

Cálculos Iniciais

f x = x 5 - 26

f ' x = 5 x 4

g x = x - x 5 - 26 5 x 4

x 0 = 2

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 1.925

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.075 > 10 - 5

f x 1 = 0.433439 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 1.925

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 1.918687

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.006313 > 10 - 5

f x 2 = 0.002834 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 1.918687

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 1.918645

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 4.2 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

f x 3 = 1.2 ∙ 10 - 5 < 10 - 5

Ainda não podemos parar.

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 1,918645192

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 1 . 9 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

f x 4 = 2.5 ∙ 10 - 8 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 1,918645192 .

Resposta

26 5 = 1,918645192 .

Exercício Resolvido #5

Seja f x = x e - x - e - 3 .

a Verifique que f x possui um zero no intervalo 0,1 ;

b Justifique teoricamente o comportamento da sequência x k colocada a seguir, gerada pelo método de Newton para o cálculo do zero de f x em 0,1 , com x 0 = 0.9 e precisão ε = 5 ∙ 10 - 6 .

Passo 1

a Vamos verificar pelo Teorema de Bolzano:

f 0 = - e - 3 < 0

f 1 = e 2 - 1 e 3 > 0

Como temos f 0 ∙ f 1 < 0 , então existe uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

-

b Repare que a sequência começa divergindo e depois passa a convergir para a raiz. Uma explicação para esse comportamento seria se f ' 0.9 ≅ 0 , explodindo o quociente f x f ' x da nossa função de iteração. Testando isso:

f x = x e - x - e - 3

f ' x = - e - x x - 1

f ' 0.9 = 0.040657

Que é um valor próximo de 0 , daí o comportamento estranho da sequência.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #6

Encontre as duas raízes reais do polinômio abaixo pelo método de Newton-Raphson com precisão 10 - 5 .

p x = x 4 - 2 x 3 + 4 x - 1.6

Passo 1

Vamos começar encontrando intervalos que contenham elas:

Beleza, achamos nossas duas raízes! Uma no intervalo - 2 , - 1 e outra no intervalo 0,1 .

Passo 2

Intervalo - 2 , - 1

Cálculos Iniciais

f x = x 4 - 2 x 3 + 4 x - 1.6

f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 4

g x = x - x 4 - 2 x 3 + 4 x - 1.6 4 x 3 - 6 x 2 + 4

x 0 = - 1

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = - 1.433333

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.433333 > 10 - 5

f x 1 = 2.776816 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = - 1.433333

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = - 1.295221

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.138112 > 10 - 5

f x 2 = 0.379167 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = - 1.295221

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = - 1.269527

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.025694 > 10 - 5

f x 3 = 0.011654 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = - 1.269527

ε = 10 - 5

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = - 1.268686

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.000841 > 10 - 5

f x 4 = 1 . 2 ∙ 10 - 5 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = - 1.268686

ε = 10 - 5

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = - 1.268685

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 8.8 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

f x 5 = 1 . 4 ∙ 10 - 11 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = - 1.268685 . Repara que nessa alcançamos uma precisão de quase 10 - 11 no nosso resultado final! Isso com apenas 5 iterações.

Passo 3

Intervalo 0,1

Cálculos Iniciais

f x = x 4 - 2 x 3 + 4 x - 1.6

f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 4

g x = x - x 4 - 2 x 3 + 4 x - 1.6 4 x 3 - 6 x 2 + 4

x 0 = 0

ε = 10 - 5

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.4

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.4 > 10 - 5

f x 1 = 0.1024 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.4

ε = 10 - 5

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.431068

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.031068 > 10 - 5

f x 2 = 0.001401 > 10 - 5

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.431068

ε = 10 - 5

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.431505

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000437 > 10 - 5

f x 3 = 2.8 ∙ 10 - 7 < 10 - 5

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.431505 .

Resposta

Intervalo - 2 , - 1 :   x - = - 1.268685

Intervalo 0,1 : x - = 0.431505

Exercício Resolvido #7

O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: sin ⁡ x = 0 e cos ⁡ x + 1 = 0 . Aplique o Método de Newton-Raphson com x 0 = 3 e precisão 10 - 3 em cada caso e compare os resultados. Explique a diferença no número de iterações realizadas para atingir a precisão.

Passo 1

Cálculos Iniciais

f x = sin ⁡ x

f ' x = cos ⁡ x

g x = x - t g x

x 0 = 3

ε = 10 - 3

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.14255

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.14255 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.14255

ε = 10 - 3

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.14159

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.000954 < 10 - 3

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.14159 .

Passo 2

Cálculos Iniciais

f x = 1 + cos ⁡ x

f ' x = - sin ⁡ x

g x = x + 1 + cos ⁡ x s i n x

x 0 = 3

ε = 10 - 3

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 3.07091

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.07091 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 3.07091

ε = 10 - 3

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 3.10627

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0,03536 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 3.10627

ε = 10 - 3

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 3.12393

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.01766 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 3.12393

ε = 10 - 3

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 3.13276

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 0.00883 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 4 = 3.13276

ε = 10 - 3

Iteração 5 :

x 5 = g x 4 = 3.13718

Critério de Parada:

x 5 - x 4 = 0.00441 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 5 = 3.13718

ε = 10 - 3

Iteração 6 :

x 6 = g x 5 = 3.13939

Critério de Parada:

x 6 - x 5 = 0.00221 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 6 = 3.13939

ε = 10 - 3

Iteração 7 :

x 7 = g x 6 = 3.14049

Critério de Parada:

x 7 - x 6 = 0.0011 > 10 - 3

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 7 = 3.14049

ε = 10 - 3

Iteração 8 :

x 8 = g x 7 = 3.14104

Critério de Parada:

x 8 - x 7 = 0.00055 < 10 - 3

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 3.14104 .

Passo 3

Po, na primeira tivemos que fazer só 2 iterações e na segunda 8 ! E não só isso, com aquelas 2 iterações conseguimos uma precisão MUITO maior do que com as 8 da segunda função. Por que isso? Cara, se liga, praticamente sempre que esse método demorar muito (tipo 8 iterações haha) é por causa daquele história da derivada!

Para f x = sin ⁡ x , temos f ' x = cos ⁡ x . No zero da função temos f ' π = - 1 , bem longe de zero.

Já para f x = 1 + cos ⁡ x , temos f ' x = - sin ⁡ x . No zero da função temos f ' π = 0 . E taí o motivo de demorar bem mais usando essa função ;)

Resposta

f x = sin ⁡ x : x - = 3.14159 ; 2 iterações.

f x = 1 + cos ⁡ x : x - = 3.14104 ; 8 iterações.

Na primeira função nós não só precisamos de bem menos iterações como também conseguimos uma precisão muito maior.

Isso acontece porque para a primeira função nós temos f ' π = - 1 . Já para a segunda nós temos f ' π = 0 . O fato de a derivada valer 0 na raiz da equação dificulta o método, fazendo com que ele precise de um número maior de iterações para obter uma precisão inferior.

Exercício Resolvido #8

Encontre um valor aproximado para x no intervalo 0.1,0.2 com precisão de 10 - 8 , para a equação populacional:

1.564.000 = 1.000.000 e x + 435.000 x e x - 1

Passo 1

Vamos começar transformando esse problema em um que a gente saiba resolver:

1.564.000 = 1.000.000 e x + 435.000 x e x - 1

1.000.000 e x + 435.000 x e x - 1 - 1.564.000 = 0

Passo 2

Cálculos Iniciais

f x = 1.000.000 e x + 435.000 x e x - 1 - 1.564.000

f ' x = 1.000.000 e x + 435.000 e x x - 1 + 1 x 2

g x = x - f x f ' x

x 0 = 0.1

ε = 10 - 8

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.100998399

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.000998399 > 10 - 8

f x 1 = 0.628931996 > 10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.100998399

ε = 10 - 8

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.10099793

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 4.7 ∙ 10 - 7 > 10 - 8

f x 2 = 1.4 ∙ 10 - 7 > 10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.10099793

ε = 10 - 8

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.10099793

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 10 - 13 < 10 - 8

f x 3 = 4.6 ∙ 10 - 10 < 10 - 8

Alcançamos nosso critério de parada. Então x - = 0.10099793 .

Resposta

x - = 0.10099793

Exercício Resolvido #9

Uma pessoa tomou um empréstimo de A reais, que acrescenta os juros no total antes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em porcentagem, é q e o empréstimo é pelo prazo de n meses, a quantia total que o tomador concorda em pagar é:

C = A + A . n . q 100

Isto é dividido por n para dar o total de cada pagamento P , ou seja,

P = C n = A 1 n + q 100

Isto é perfeitamente legal e muito usado em lojas de departamento. (É chamado o empréstimo com acréscimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador está pagando é alguma coisa além de q % , porque ele não conserva o total do empréstimo por todos os n meses: Ele está pagando-o de volta com o decorrer do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determinação de uma raiz x da equação:

F x = A x - P 1 + x n + P = 0

Isto fornece a taxa de juros por período de pagamento, que pode ser convertida em taxa anual multiplicando-se a mesma por 12. Seja A = R $ 1000 , n = 24 e q = 5 % . Determine a verdadeira taxa de juros com precisão de 10 - 7 .

Passo 1

Cacetada! Isso aí ta parecendo questão do ENEM, olha esse testamento. E como toda questão do ENEM só o que interessa é o último parágrafo haha.

Vamos substituir os valores da equação e achar essa bendita raiz.

P = 1000 1 24 + 5 100 = 91.666 …

F x = 1000 x - 91.666667 1 + x 24 + 91.666667

Passo 2

Vamos encontrar o intervalo que contém a raiz agora. Como estamos falando de juros vamos tentar valores baixos:

F 0.01 = - 12.0283

F 0.03 = - 33.689

F 0.05 = - 42.7125

F 0.07 = - 18.2346

F 0.09 = 78.4815

Beleza, temos uma raiz no intervalo 0.07,0.09 .

Passo 3

Cálculos Iniciais

f x = 1000 x - 91.666667 1 + x 24 + 91.666667

f ' x = 25000 x - 0.048 x + 1 23

g x = x - f x f ' x

x 0 = 0.07

ε = 10 - 7

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.0769937

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.0069937 > 10 - 7

f x 1 = 4.64371454 > 10 - 7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.0769937

ε = 10 - 7

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.07583033

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.00116337 > 10 - 7

f x 2 = 0.14886669 > 10 - 7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.07583033

ε = 10 - 7

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.0757905

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 3.983 ∙ 10 - 5 > 10 - 7

f x 3 = 0.00016984 > 10 - 7

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 0.0757905

ε = 10 - 7

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 0.07579045

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 4.6 ∙ 10 - 8 < 10 - 7

f x 4 = 2.2 ∙ 10 - 10 < 10 - 7

Pronto, achamos nossa taxa de juros verdadeira. x - = 0.07579045 .

Resposta

x - = 0.07579045

Exercício Resolvido #10

Um jogador de futebol americano está prestes a fazer um lançamento para outro jogador de seu time. O lançador tem uma altura de 1.82 m e o outro jogador está 18.2 m afastado. A expressão que descreve o movimento da bola é a familiar equação da física que descreve o movimento do projétil:

y = x t a n θ - 1 2 x 2 g v 0 2 cos 2 ⁡ θ + h

Onde x e y são as distâncias horizontal e vertical, respectivamente, g = 9.81 m / s 2 é a aceleração da gravidade. v 0 é a velocidade inicial da bola quando deixa a mão do lançador e θ é o ângulo que a bola faz com o eixo horizontal nesse mesmo instante. Para v 0 = 15.2 m / s , x = 18.2 m , h = 1.82 m e y = 2.1 m , determine o ângulo θ no qual o jogador deve lançar a bola.

Resolva o problema com tolerância 10 - 8 rad.

Passo 1

Vamos começar substituindo os valores na fórmula:

2.1 = 18.2 tan ⁡ θ - 1 2 18.2 2 ∙ 9.81 15.2 2 cos 2 ⁡ θ + 1.82

18.2 tan ⁡ θ - 7.03226 cos 2 ⁡ θ - 0.28 = 0

Passo 2

Agora precisamos encontrar um intervalo com a raiz:

f 0 = - 7.31226

f 1 = 3.97568

Então temos uma raiz em 0,1 .

Passo 3

Cálculos Iniciais

f x = 18.2 tan ⁡ θ - 7.03226 cos 2 ⁡ θ - 0.28

f ' x = sec 2 ⁡ θ 18.2 - 14.0645 tan ⁡ θ

g x = x - f x f ' x

x 0 = 0

ε = 10 - 8

Iteração 1 :

x 1 = g x 0 = 0.401772527

Critério de Parada:

x 1 - x 0 = 0.401772527 > 10 - 8

f x 1 = 0.848877897 > 10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 1 = 0.401772527

ε = 10 - 8

Iteração 2 :

x 2 = g x 1 = 0.460595698

Critério de Parada:

x 2 - x 1 = 0.05882317 > 10 - 8

f x 2 = 0.012965943 > 10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 2 = 0.460595698

ε = 10 - 8

Iteração 3 :

x 3 = g x 2 = 0.461522891

Critério de Parada:

x 3 - x 2 = 0.000927194 > 10 - 8

f x 3 = 3.437 ∙ 10 - 6 > 10 - 8

Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.

x 3 = 0.461522891

ε = 10 - 8

Iteração 4 :

x 4 = g x 3 = 0.461523137

Critério de Parada:

x 4 - x 3 = 4.6 ∙ 10 - 8 > 10 - 8

f x 4 = 2.2 ∙ 10 - 10 < 10 - 8

Pronto, achamos o ângulo de lançamento. x - = 0.461523137 .

Resposta

x - = 0.461523137

Exercícios de Livros Relacionados

Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Os gráficos de y= x e y=3-x 2 se cruzam em um ponto x=r . Use o método de Newton para calcular o valor de r com quatro casas decimais.
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. 2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva
Explique por que as quatro questões seguintes pedem a mesma informação: Determine as raízes de f ( x )=x 3-3 x-1 . Determine as abscissas da interseção da curva y=x 3 com a reta y=3 x+1 . Determine as