Método de Newton Raphson
Teoria
Fala aí, você acaba de chegar no Responde Aí! E agora vamos bater um papo sobre o Método de Newton Raphson
Método de Newton Raphson
Fórmula do método de Newton Raphson
O método de Newton-Raphson é um tipo de método do ponto fixo que utiliza uma técnica diferente pra refinamento.
O que esse método faz é minimizar o valor da função de iteração no ponto fixo acelerando a convergência do método do ponto fixo.
E como calculamos isso matematicamente?
Pensando em termos de funções que funcionam por iteração e que cada método depende do anterior. A nossa sequência de iteração será:
Convergência do método de Newton Raphson
Geralmente o método de Newton converge desde que nosso palpite inicial
Ou seja, com uma boa escolha de
Critério de parada
Basicamente, aplicamos os critérios de convergência e iteração até que o valor de
Beleza, nós já vimos qual a função de iteração desse método, e como ele é uma derivação do Método do Ponto Fixo, ele necessita exatamente das mesmas coisas!
Ele precisa de um chute inicial e o critério de parada será:
E, novamente, outro critério usado é:
Prova geométrica do método de Newton Raphson
O método de Newton Raphson também pode ser obtido geometricamente.
Dado o ponto
Essa reta
E como nosso chute
Exercício
Calcule o valor de
Prova geométrica do método de Newton Raphson
Exercício
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 75, exercício 2 adaptado
Seja e . Use o Método de Newton para encontrar . O valor poderia ser usado?
Passo 1
Só aplicar o algoritmo:
Cálculos Iniciais
Taí o nosso .
A próxima pergunta é, poderia ser usado? Não poderia pois a derivada nesse ponto vale :
Isso nos criaria uma indeterminação na nossa função de iteração.
Resposta
.
Não poderia pois criaria uma indeterminação na nossa função de iteração.
Exercício Resolvido #2
Lista 2 – Professor Mauro – UFRJ – Questão 2
Dê um exemplo de função , que tenha pelo menos uma raiz, onde o Método de Newton-Raphson não converge sempre.
Passo 1
Um exemplo de função para a qual o método de Newton não converge sempre é . A sequência diverge para valores acima de e para valores abaixo de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 75, exercício 6 adaptado
Use o Método de Newton para encontrar soluções com precisão de para os seguintes problemas:
para
para e
para e
para e
Passo 1
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 2
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 3
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 4
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 5
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 6
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 7
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Resposta
Intervalo :
Intervalo :
Intervalo :
Intervalo :
Intervalo :
Intervalo :
Intervalo :
Exercício Resolvido #4
Lista 1 – UTFPR – Prof Violeta Stephan – Questão 8
Calcule pelo método de Newton-Raphson. Considere .
Passo 1
Uma forma de se calcular o valor de é dessa forma:
Passo 2
Agora precisamos de um chute inicial. está em algum lugar entre e . Ou seja, está em algum lugar entre e . Logo, temos nosso intervalo. Como é mais próximo de que de , vamos usar como aproximação inicial.
Passo 3
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Ainda não podemos parar.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Resposta
.
Exercício Resolvido #5
Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 99, exercício 21 Adaptado.
Seja .
Verifique que possui um zero no intervalo ;
Justifique teoricamente o comportamento da sequência colocada a seguir, gerada pelo método de Newton para o cálculo do zero de em , com e precisão .
Passo 1
Vamos verificar pelo Teorema de Bolzano:
Como temos , então existe uma raiz nesse intervalo.
Passo 2
Repare que a sequência começa divergindo e depois passa a convergir para a raiz. Uma explicação para esse comportamento seria se , explodindo o quociente da nossa função de iteração. Testando isso:
Que é um valor próximo de , daí o comportamento estranho da sequência.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #6
Lista UNIVAP – Zeros de Função – Adaptada
Encontre as duas raízes reais do polinômio abaixo pelo método de Newton-Raphson com precisão .
Passo 1
Vamos começar encontrando intervalos que contenham elas:
Beleza, achamos nossas duas raízes! Uma no intervalo e outra no intervalo .
Passo 2
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então . Repara que nessa alcançamos uma precisão de quase no nosso resultado final! Isso com apenas iterações.
Passo 3
Intervalo
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Resposta
Intervalo :
Intervalo :
Exercício Resolvido #7
Lista 2 – UFRJ – Professor Daniel – Questão 8
O valor de pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: e . Aplique o Método de Newton-Raphson com e precisão em cada caso e compare os resultados. Explique a diferença no número de iterações realizadas para atingir a precisão.
Passo 1
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 2
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Passo 3
Po, na primeira tivemos que fazer só iterações e na segunda ! E não só isso, com aquelas iterações conseguimos uma precisão MUITO maior do que com as da segunda função. Por que isso? Cara, se liga, praticamente sempre que esse método demorar muito (tipo iterações haha) é por causa daquele história da derivada!
Para , temos . No zero da função temos , bem longe de zero.
Já para , temos . No zero da função temos . E taí o motivo de demorar bem mais usando essa função ;)
Resposta
: ; iterações.
: ; 8 iterações.
Na primeira função nós não só precisamos de bem menos iterações como também conseguimos uma precisão muito maior.
Isso acontece porque para a primeira função nós temos . Já para a segunda nós temos . O fato de a derivada valer na raiz da equação dificulta o método, fazendo com que ele precise de um número maior de iterações para obter uma precisão inferior.
Exercício Resolvido #8
Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 77, exercício 24 adaptado
Encontre um valor aproximado para no intervalo com precisão de , para a equação populacional:
Passo 1
Vamos começar transformando esse problema em um que a gente saiba resolver:
Passo 2
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Alcançamos nosso critério de parada. Então .
Resposta
Exercício Resolvido #9
Lista UNIVAP – Zeros de Função – Adaptada
Uma pessoa tomou um empréstimo de reais, que acrescenta os juros no total antes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em porcentagem, é e o empréstimo é pelo prazo de meses, a quantia total que o tomador concorda em pagar é:
Isto é dividido por para dar o total de cada pagamento , ou seja,
Isto é perfeitamente legal e muito usado em lojas de departamento. (É chamado o empréstimo com acréscimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador está pagando é alguma coisa além de , porque ele não conserva o total do empréstimo por todos os meses: Ele está pagando-o de volta com o decorrer do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determinação de uma raiz da equação:
Isto fornece a taxa de juros por período de pagamento, que pode ser convertida em taxa anual multiplicando-se a mesma por 12. Seja , e . Determine a verdadeira taxa de juros com precisão de .
Passo 1
Cacetada! Isso aí ta parecendo questão do ENEM, olha esse testamento. E como toda questão do ENEM só o que interessa é o último parágrafo haha.
Vamos substituir os valores da equação e achar essa bendita raiz.
Passo 2
Vamos encontrar o intervalo que contém a raiz agora. Como estamos falando de juros vamos tentar valores baixos:
Beleza, temos uma raiz no intervalo .
Passo 3
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, achamos nossa taxa de juros verdadeira. .
Resposta
Exercício Resolvido #10
Lista 1 – UTFPR – Prof Violeta Stephan – Questão 15
Um jogador de futebol americano está prestes a fazer um lançamento para outro jogador de seu time. O lançador tem uma altura de e o outro jogador está afastado. A expressão que descreve o movimento da bola é a familiar equação da física que descreve o movimento do projétil:
Onde e são as distâncias horizontal e vertical, respectivamente, é a aceleração da gravidade. é a velocidade inicial da bola quando deixa a mão do lançador e é o ângulo que a bola faz com o eixo horizontal nesse mesmo instante. Para , , e , determine o ângulo no qual o jogador deve lançar a bola.
Resolva o problema com tolerância rad.
Passo 1
Vamos começar substituindo os valores na fórmula:
Passo 2
Agora precisamos encontrar um intervalo com a raiz:
Então temos uma raiz em .
Passo 3
Cálculos Iniciais
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Como não alcançamos o critério de parada continuamos as iterações.
Iteração :
Critério de Parada:
Pronto, achamos o ângulo de lançamento. .
Resposta