Valor Relativo

a)

O erro da área nada mais é do que a variação da área, ou seja, . Além disso, vimos na teoria que:

Então só precisamos achar o diferencial dessa função da área. Vamos escrever a área em função do lado :

Assim, derivando:

Passando para direita:

Pela aproximação por diferencial, sabemos que:

Logo:

Agora que temos o diferencial da área, e que vimos que ela vai ser o erro, vamos calcular no intervalo que ele deu. Ele disse que o erro do lado vai entre e então:

Multiplicando por para dar o diferencial de ali no meio, temos:

Ele deu o ponto inicial do lado, que vai ser , então:

Esse vai ser o erro da área.

b)

Vamos achar agora os erros percentuais. O erro percentual nada mais é que o erro relativo que vimos na teoria.

Primeiro o erro do lado, para isso temos que dividir por . Já vimos que ele quer esse erro percentual com , e:

Assim:

E vamos ter:

Colocando em porcentagem e substituindo por

Vamos agora para o erro percentual da área, primeiro temos que achar a área para :

E o erro percentual da área vai ficar:

Colocando isso em porcentagem e substituindo por :

E achamos os erros percentuais.

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . Vamos começar achando o erro de , para isso vamos achar seu diferencial em relação a :

Podemos trocar o valor de nessa fórmula já que ele é constante:

O seu diferencial vai ser:

Passando para direita:

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com , e vai ser o erro na conta. Assim:

Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

Assim vamos ter:

Multiplicando isso por , vamos ter:

Assim, aquele cara do meio é :

Ele disse o valor de , que vai ser , vamos passar isso para radianos:

Assim, temos:

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de , que é só ir multiplicando a função no valor de que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

Então precisamos achar o valor de no valor inicial de

Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . Vamos começar achando o erro de , para isso vamos achar seu diferencial em relação a :

Podemos trocar o valor de e de nessa fórmula já que ele é constante:

O seu diferencial vai ser:

Por fim:

Passando para direita:

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com , e vai ser o erro na conta. Assim:

Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

Assim vamos ter:

Multiplicando isso por , vamos ter:

Assim, aquele cara do meio é :

Ele disse o valor de , que vai ser , vamos passar isso para radianos:

Assim, temos:

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de , que é só ir multiplicando a função no valor de que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

Então precisamos achar o valor de no valor inicial de

Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:

Quando a gente vê um OBS numa questão, geralmente é pra gente ficar atento porque tem dica boa aí! Nesse caso, como a menina sabe a proporção, a gente precisa saber também!

Ela não sabe as medidas exatas dos raios, nós sabemos. Se o raio do bambolê é e o raio da corda é , então:

Ta, mas e daí? Bem, a gente vai poder usar essa proporção pra escrever o volume e a área superficial da corda em função de uma variável só. Quer ver? Se a corda é um cilindro, temos que sua altura vale:

Que nada mais é do que o comprimento do bambolê. E a área da base desse cilindro vai ser então:

Show de bola, calculamos então o volume e a área superficial por:

O que fica:

Agora vamos calcular o diferencial das funções de que vimos acima. Saca só:

E passando por outro lado o :

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com e relacionar com . e vão ser o erro na conta. Assim:

Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:

Esse é o intervalo do erro. Multiplicando isso por , vamos ter:

Assim, aquele cara do meio é :

Pro volume, basta então a gente multiplicar o intervalo de variação do erro do raio por :

Sendo que o valor de ali dentro é o valor inicial, dado no enunciado, de , logo:

Vamos agora achar o erro percentual dessas paradas. Para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

Então precisamos achar o valor de no valor inicial de :

E o valor de no valor inicial de também:

Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo:

Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:

Agora, pro cálculo do volume, fazemos a mesma coisa, beleza? Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo:

Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . A nossa dificuldade nessa questão vai ser achar a expressão de em função de uma variável pra podermos variar. De qualquer forma, a área do retângulo vai ser:

Mas quem vai ser a base e a altura? Pô, o truque pra tirar de letra quem vai ser e é lembrar que a hipotenusa desse triângulo é uma reta tangente, e retas tangentes tem a seguinte expressão:

Onde é o ponto de tangência na curva . Escolhendo um ponto de tangência qualquer , vamos ficar com:

Esse nada mais é do que a inclinação da reta tangente no ponto de tangência, lembra? Então a gente calcula ele tranquilin assim ó:

E a equação da reta tangente é reescrita para:

Como a altura desse triângulo está sempre, pela figura, em cima de , temos que:

Show, falta achar a base agora. Se a gente olhar pro esquema do enunciado vemos direitinho que a base vai ser sempre “menos algo”. E olha só! Não é que esse “algo” vai ser sempre o valor de em que a reta tangente toca o eixo ? Sendo assim, a base vai ser:

A base vai ser então:

E a área vai ser:

Nesse passo, vamos fazer o diferencial, beleza? Já que , o diferencial vai ficar:

Passando pro outro lado:

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com , e vai ser o erro na conta. Assim:

Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:

Multiplicando isso por , vamos ter:

Assim, aquele cara do meio é :

Ele disse o valor de , que vai ser , segundo o enunciado, a gente substitui:

Assim, temos:

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

Então precisamos achar o valor de no valor inicial de , que é

Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo

Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:

Graficamente da pra ver que a área desse triângulo não é muito diferente da área abaixo da curva, saca só:

Se usássemos como no calculo do erro relativo a área real, teríamos que fazer:

O erro relativo seria:

E por fim: