Vetor Aceleração
Teoria
O vetor aceleração é a derivada da derivada do vetor posição! Bora entender como isso funciona?!
Como Calcular o Vetor Aceleração
Pra a gente achar a aceleração vetorial, não tem mistério! É só derivar o vetor velocidade em relação ao tempo. Ou derivar duas vezes o vetor posição em relação ao tempo:
-Mas como eu derivo um vetor?! 😱😱😱
É bem mais fácil do que parece, é só derivar cada elemento do vetor individualmente. Vou derivar um vetor
Derivando
Podemos derivar de novo:
Viu, não é nenhum bicho de 7 cabeças! 👹 😉
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A aceleração vetorial pode ser decomposta em duas componentes: uma tangencial, na direção do vetor tangente unitário
Onde
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Exemplo:
Primeiro achamos o vetor velocidade, para isso derivamos o vetor acima:
No tempo
Agora derivamos de novo pra achar o vetor aceleração:
Para calcular o ângulo
O módulo do vetor velocidade e aceleração são:
Calculamos o produto interno entre os dois vetores:
Finalmente calculamos:
Agora vamos praticar com exercícios?!
Exemplo: é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre o ângulo entre os vetores aceleração e velocidade no instante t=0 para: +10 min
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 270, exercício 10.
Escreva na forma sem calcular e .
Passo 1
Vamos lá, sabemos que a aceleração pode ser escrita na forma
Onde .
Passo 2
Assim, pra descobrir as componentes normal e tangencial, precisamos calcular :
Então
Passo 3
Da fórmula, sabemos que
Então:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.46. questão 11.
Uma estrada tem a configuração da parábola . Um caminhão está carregado de tal modo que irá tombar se a componente normal da aceleração exceder . Que valores da velocidade garantirão uma passagem sem desastre pelo vértice da parábola?
Passo 1
O que a questão quer saber são para quais valores da componente normal o caminhão não vai tombar.
Vamos lá, primeiro temos que parametrizar essa parábola ai:
Passo 2
O que o problema nos diz é que a componente normal da aceleração não pode exceder 30, ou seja:
E como podemos obter a componente normal? Por essa fórmula aqui
Beleza, vamos começar achando o vetor aceleração, , através da derivada da parametrização!
Assim,
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, vamos usar essa fórmula aqui
Passo 4
Ótimo, voltando naquela fórmula do passo 2, vamos ter o seguinte
Portanto,
Passo 5
Lembra que ele quer ? Então
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.46. questão 9.
Uma partícula se move ao longo do ramo superior da hipérbole de tal forma que é uma constante positiva. Encontre o que se pede quando a partícula está em : o vetor posição, o vetor velocidade, o vetor aceleração, o vetor tangente unitário, o vetor normal unitário, as componentes normal e tangencial da aceleração, e .
Passo 1
Primeira coisa: vamos parametrizar o ramo superior dessa hipérbole.
Se você não se lembra bem, dá uma olhada de novo em “Parametrização”.
Entendeu por que eu coloquei o parâmetro como ? É por causa daquela parada que eu expliquei em “Vetor velocidade” de que pra falarmos de velocidade, o parâmetro tem que ser sempre o tempo e a parametrização da hipérbole é em função de um ângulo. Então fazemos esse ângulo ser uma função do tempo.
Passo 2
Agora, vamos ao que a questão pede para o ponto
Primeiro, o vetor posição neste ponto:
Essa é fácil né? Se a partícula está no ponto , qual a posição dela?
né?!
Então é isso, a posição é:
Passo 3
Ok, vetor velocidade:
Mas, no ponto a gente sabe que
Então a gente pode substituir isso ali em cima:
Mas
Substituindo isso:
Tranquilo?
Passo 4
Vetor aceleração:
Usamos regra do produto e regra da cadeia!
Agora temos que achar uma relação entre e já que as informações que o problema nos dá são sobre .
Já que a questão disse que é uma constante positiva, então sua segunda derivada é zero.
Agora, finalmente, substituindo no ponto , temos:
Pois
Que são relações que a gente já achou lá em cima :D
Beleza? Agora só falta substituir o ponto no vetor aceleração:
Passo 5
Vetor tangente unitário:
Passo 6
Vetor normal unitário:
O vetor normal pode ser calculado como
Assim, o vetor normal unitário fica:
Mas, esse denominador a gente já calculou né? Concorda que ele é igual a
Porque
Fazendo as substituições, então, temos:
Passo 7
A componente normal da aceleração é:
Passo 8
Já a componente tangencial da aceleração é:
Resposta
Exercício Resolvido #4
George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 281, exercício 9.
Uma partícula se move no plano de modo que seus vetores velocidade e aceleração são sempre ortogonais. Mostre que a partícula se move num circulo centrado na origem.
Passo 1
Como o problema pede, vamos supor que a partícula se move num círculo centrado na origem. Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória, então, se o vetor aceleração é perpendicular ao vetor velocidade, significa que ele está na mesma direção do vetor posição.
Se a gente provar que o vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais, provamos também que velocidade e aceleração também o são.
Fazemos:
Passo 2
Sabemos que se dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é nulo. Assim:
Agora a gente faz uma manobra aqui:
Faz sentido né?
Passo 3
Agora, se a gente escrever
Vamos ver que o que temos é a regra de derivação para produto escalar entre e :
Passo 4
Mas
E considerando que a trajetória é um circulo, é uma constante, igual ao raio da trajetória.
Passo 5
E essa é exatamente a equação do circulo centrado na origem!!
Assim, provamos que a trajetória é um circulo centrado na origem :D
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)