Teoria

Introdução

Fala, gente! Tudo tranquilo? Vamos começar dando uma rápida revisada em como calcular o Wronskiano .

Vimos na seção anterior que o Wronskiano pode ser calculado da seguinte forma:

W f 1 , f 2 , … , f n = f 1 f 2 ⋯ f n f 1 ' f 2 ' ⋯ f n ' ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 n - 1 f 2 n - 1 ⋯ f n n - 1

.

Qualquer dúvida é só voltar na seção: “ Dependência e Independência Linear”. Beleza?

Definição:

Podemos definir o conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea de ordem n como sendo qualquer conjunto y 1 , y 2 , … y n de n soluções linearmente independentes em um intervalo I .

Agora vamos ver um teorema que utiliza o Wronskiano para verificar o conjunto fundamental de soluções de uma EDO de 2ª ordem.

Considere a EDO a seguir:

y " + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0

Seja y 1 e y 2 soluções dessa EDO. Seja também I o intervalo onde p ( x ) e q ( x ) são contínuas.

y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções em I se W y 1 , y 2 ≠ 0 para todo x ∈ I .

Vamos ver um exemplo para entender melhor como utilizar esse teorema:

Considere a seguinte EDO:

y " - 4 y = 0

O problema afirma que essa EDO possui duas soluções:

y 1 = e - 2 x

y 2 = e 2 x

Essas soluções y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da EDO?

Para verificar isso, vamos utilizar o teorema que acabamos de ver:

Veja que p x e q x são constantes e portanto não há descontinuidades. Logo I = - ∞ , ∞

Vamos agora calcular as derivadas:

y 1 ' = - 2 e - 2 x

y 2 ' = 2 e 2 x

Calculando o Wronskiano temos:

W y 1 , y 2 = e - 2 x e 2 x - 2 e - 2 x 2 e 2 x = 2 e 2 x e - 2 x - - 2 e - 2 x e 2 x = 2 + 2 = 4

Como o Wronskiano não se anula para nenhum valor de x ∈ ( - ∞ , ∞ ) , podemos afirmar que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de solução para todo x   ∈ ( - ∞ , ∞ )

Solução Geral EDO Homogênea:

A solução geral de uma EDO homogênea de ordem n é dada por:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + … + c n y n

Onde y 1 , y 2 , … , y n são os elementos que formam o conjunto fundamental de soluções dessa EDO.

No exemplo anterior, verificamos que y 1 = e - 2 x ,   y 2 = e 2 x formam o conjunto fundamental de soluções da EDO y " - 4 y = 0 .

Logo, podemos afirmar que a solução geral dessa EDO é:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x

Solução Geral EDO Não Homogênea:

A solução geral de uma EDO não homogênea de ordem n é dada por:

y = y h + y p

Onde y h é a solução geral da equação homogênea associada, e y p é a solução particular dessa EDO não homogênea.

Bora pros exercícios?!

Definição:

Solução Geral EDO Homogênea:

Solução Geral EDO Não Homogênea:

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