Conjunto Fundamental de Solução
Teoria
Introdução
Fala, gente! Tudo tranquilo? Vamos começar dando uma rápida revisada em como calcular o Wronskiano .
Vimos na seção anterior que o Wronskiano pode ser calculado da seguinte forma:
.
Qualquer dúvida é só voltar na seção: “ Dependência e Independência Linear”. Beleza?
Definição:
Podemos definir o conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea de ordem como sendo qualquer conjunto de soluções linearmente independentes em um intervalo .
Agora vamos ver um teorema que utiliza o Wronskiano para verificar o conjunto fundamental de soluções de uma EDO de 2ª ordem.
Considere a EDO a seguir:
Seja e soluções dessa EDO. Seja também o intervalo onde e são contínuas.
e formam o conjunto fundamental de soluções em se para todo .
Vamos ver um exemplo para entender melhor como utilizar esse teorema:
Considere a seguinte EDO:
O problema afirma que essa EDO possui duas soluções:
Essas soluções e formam um conjunto fundamental de soluções da EDO?
Para verificar isso, vamos utilizar o teorema que acabamos de ver:
Veja que e são constantes e portanto não há descontinuidades. Logo
Vamos agora calcular as derivadas:
Calculando o Wronskiano temos:
Como o Wronskiano não se anula para nenhum valor de , podemos afirmar que e formam um conjunto fundamental de solução para todo
Solução Geral EDO Homogênea:
A solução geral de uma EDO homogênea de ordem é dada por:
Onde são os elementos que formam o conjunto fundamental de soluções dessa EDO.
No exemplo anterior, verificamos que formam o conjunto fundamental de soluções da EDO .
Logo, podemos afirmar que a solução geral dessa EDO é:
Solução Geral EDO Não Homogênea:
A solução geral de uma EDO não homogênea de ordem é dada por:
Onde é a solução geral da equação homogênea associada, e é a solução particular dessa EDO não homogênea.
Bora pros exercícios?!
Definição:
Solução Geral EDO Homogênea:
Solução Geral EDO Não Homogênea:
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
PUC-RJ - Cálculo 3 - P1 2014.1 - 3b
Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.
Todas as soluções da equação diferencial
São dadas pela fórmula , onde e são constantes.
Passo 1
Vamos começar vendo se é solução
Substituindo na equação
Beleza ele é solução.
Vamos ver se também vai ser
Substituindo na equação
Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.
Passo 2
Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.
O Wroskiano é o determinante abaixo
Passo 3
Vamos reescrever agora a nossa EDO da seguinte forma
A função é contínua no intervalo .
Como o Wroskiano é diferente de , essas duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser
No intervalo
Logo essa afirmação é verdadeira
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
UNICAMP - Cálculo 3 - P1 2014 Manhã - 2
Considere a equação diferencial
- Enuncie o teorema de Wronskiano de soluções para equações lineares de ordem
- Mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções em
- Porque o Wronskiano ser igual a zero em não contradiz esse teorema?
Passo 1
a)
O teorema diz
Sejam e duas soluções da equação diferencial
Onde e são continuas em um intervalo aberto .
Então e formam um conjunto fundamental de soluções em se o wronskiano é tal que para todo que pertence ao intervalo vamos ter o wronskiano sendo diferente de .
O wronskiano é definido por
Passo 2
b)
Para vermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções primeiro temos que ver se elas são realmente soluções da nossa EDO
Vamos começar fazendo
Substituindo na equação vamos ter
Então ela é uma solução da nossa EDO
Vamos fazer agora
Substituindo na nossa EDO
Então ela é uma solução da nossa EDO
Passo 3
Agora que conferimos que elas são soluções vamos calcular seu Wronskiano
Então
E vamos ter que é zero somente em , como o intervalo que ele deu não inclui o zero, temos que e formam um conjunto fundamental de soluções em
Passo 4
c)
Se escrevermos a nossa equação diferencial da forma que está no teorema vamos ter
Repare que o ponto não está nas hipóteses do teorema já que as funções
E
São descontinuas em , então não teremos um intervalo que tenha o .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 165 - 43
Verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.
Passo 1
Vimos na teoria que a solução geral de uma EDO não homogênea é dada por :
Onde é a solução geral da equação homogênea associada e é a solução particular da equação não homogênea.
Podemos identificar como sendo a solução particular pois os termos não estão multiplicados por constantes como e .
Logo
Passo 2
Já identificamos , agora vamos substituir na equação não homogênea a fim de verificar se é mesmo solução da não homogênea. Primeiro vamos encontrar suas derivadas.
Substituindo na EDO temos:
Ajeitando o lado esquerdo temos:
Portanto temos:
Logo é mesmo solução particular da equação não homogênea.
Passo 3
Agora vamos analisar , que é a solução geral da equação não homogênea associada.
Vimos que a solução geral da equação não homogênea de ordem 2 é dada por:
Onde e formam o conjunto fundamental de soluções da equação não homogênea.
Temos:
Logo:
Agora, temos de verificar se e formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada:
E como faremos isso? Primeiro temos de verificar se e satisfazem equação acima e depois utilizar o teorema do Wrosnkiano para verificar se eles formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO.
Passo 4
Vamos verificar primeiro se é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:
Substituindo temos:
Portanto é mesmo solução da homogênea.
Vamos verificar agora se é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:
Substituindo temos:
Ajeitando:
Portanto é mesmo solução da homogênea.
Passo 5
Agora só falta verificar se e formam o conjunto fundamental de soluções da parte homogênea. O teorema diz assim:
Considere a EDO a seguir:
Seja e soluções dessa EDO. Seja também o intervalo onde e são contìnuas.
e formam o conjunto fundamental de soluções em se para todo .
No nosso caso, a EDO é:
Nosso e . Temos também e , que são contínuas em . Vamos agora calcular o Wronskiano. Temos:
Podemos ver que nunca se anula.
Logo, e formam o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada.
Passo 6
Verificamos então que é mesmo solução particular da EDO não homogênea, e verificamos também que é a solução geral da equação homogênea associada.
Portanto é mesmo a solução geral da EDO no intervalo .
Resposta
é mesmo solução geral da equação no intervalo .