Conjunto Fundamental de Solução
Produzido por Carolina SabaTeoria
Introdução
Fala, gente! Tudo tranquilo? Vamos começar dando uma rápida revisada em como calcular o Wronskiano .
Vimos na seção anterior que o Wronskiano pode ser calculado da seguinte forma:
.
Qualquer dúvida é só voltar na seção: “ Dependência e Independência Linear”. Beleza?
Definição:
Podemos definir o conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea de ordem como sendo qualquer conjunto de soluções linearmente independentes em um intervalo .
Agora vamos ver um teorema que utiliza o Wronskiano para verificar o conjunto fundamental de soluções de uma EDO de 2ª ordem.
Considere a EDO a seguir:
Seja e soluções dessa EDO. Seja também o intervalo onde e são contínuas.
e formam o conjunto fundamental de soluções em se para todo .
Vamos ver um exemplo para entender melhor como utilizar esse teorema:
Considere a seguinte EDO:
O problema afirma que essa EDO possui duas soluções:
Essas soluções e formam um conjunto fundamental de soluções da EDO?
Para verificar isso, vamos utilizar o teorema que acabamos de ver:
Veja que e são constantes e portanto não há descontinuidades. Logo
Vamos agora calcular as derivadas:
Calculando o Wronskiano temos:
Como o Wronskiano não se anula para nenhum valor de , podemos afirmar que e formam um conjunto fundamental de solução para todo
Solução Geral EDO Homogênea:
A solução geral de uma EDO homogênea de ordem é dada por:
Onde são os elementos que formam o conjunto fundamental de soluções dessa EDO.
No exemplo anterior, verificamos que formam o conjunto fundamental de soluções da EDO .
Logo, podemos afirmar que a solução geral dessa EDO é:
Solução Geral EDO Não Homogênea:
A solução geral de uma EDO não homogênea de ordem é dada por:
Onde é a solução geral da equação homogênea associada, e é a solução particular dessa EDO não homogênea.
Bora pros exercícios?!