Vamos pelo mais simples, mostrar que é curva de nível de , beleza? Se isso for verdade, então para qualquer , devemos ter que .

Partiu substituir em !

Como a secante é o inverso do cosseno, então , e

Ou seja, a curva é de nível ! Show, apenas isso!

Vamos agora esboçar essa curva. Sua equação é:

No plano , temos, portanto:

Levando em conta, novamente, que , então , e

Para esboçar essa curva, agora, devemos perceber algumas características dela, como:

• Quando , o parte pra infinito, ou seja, temos uma assíntota vertical em
• Como é sempre positivo, então é sempre positivo
• Como quando ou tende a , então o menor valor que assume é

Com isso, podemos ter uma ideia da curva, que parte pra infinito nos dois lados da reta e decai para quando vai para mais ou menos infinito:

a)

Vamos então representar o domínio da função! Como deve saber, temos uma listinha de coisas que merecem atenção, e agora podemos ver dois casos, a princípio:

1. O denominador da fração não pode valer
2. O valor dentro da raiz que tá no denominador tem que ser (ser menor do que não dá, por que é uma raiz, e , até poderia ser, mas ela está no denominador!)

Juntando o que conseguimos no primeiro passo, teremos então:

Assim devemos ter, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo positivas, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo negativas.

Ou

Legal! Agora que temos a condição pra nossa função existir, vamos dar uma olhadinha no que isso quer dizer graficamente?

A primeira coisa que eu costumo fazer quando tenho uma desigualdade é trocar ela por um sinal de “igual” e ver do que estamos tratando. Veja, se fosse:

Essas são as duas retas que temos tanto na primeira quanto na segunda região;

Teríamos aquele par de retas que passam bem no meio do primeiro e terceiro quadrantes, e segundo e quarto quadrantes. Olha só, em vermelho a reta e em azul a :

Agora vamos colocar o sinal de desigualdade!

Veja só, se temos que e , isso quer dizer que, tanto para a reta quanto para a , o que vale é a parte do plano abaixo de cada uma delas.

Veja só, se temos que e , isso quer dizer que, tanto para a reta quanto para a , o que vale é a parte do plano acima de cada uma delas.

Portanto, nosso domínio a região acima das retas e abaixo das retas (a parte roxa e a parte branca do gráfico):

Agora, vamos traçar a curva de nível do ponto ? É só a gente substituir esse ponto na equação de , ver qual é o valor do nível, depois analisar a curva sem substituir o ponto, mas substituindo o nível. Veja só:

Agora, colocamos como sendo o valor para o nível:

Desenvolvendo a equação, vamos elevar os dois lados ao quadrado. Mas aqui temos que observar o seguinte: o valor da raiz continua não podendo ser menor ou igual a !

Completando o quadrado para o , somando de cada lado:

Reescrevendo o termo do quadrado do :

Veja que estamos cada vez mais próximos da equação de uma elipse! Vamos continuar... temos que passar o coeficiente do pro denominador. Vai fica:

E podemos tirar esse denominador do parêntesis elevando-o ao quadrado:

E agora dividimos tudo por , ficando:

Ufa! Demorou mas saiu! Temos, enfim, a equação da curva de nível, que é uma elipse! Se não tiver muito bem lembrado, só comparar com a equação geral:

Agora é só esboçar a curva! Como podemos ver:

Ela está centrada em , pois e .

Mas, lembrando que o nosso domínio é limitado pelas pelos semiplanos , temos que verificar de que forma isso afeta no desenho da elipse! Então, vamos arbitrariamente substituir na equação dela, (estamos fazendo assim pra evitar excesso de conta, já que só temos um , que está ao quadrado)

Com (tanto faz, mais ou menos, está ao quadrado!), teremos:

Resolvendo a equação do segundo grau,

E o que esse valor significa? Ora, acabamos de encontrar o valor para a interseção entre a nossa elipse e as retas , ou se preferir, . Como temos que a função existe apenas para valores acima dessas retas, nossa elipse só existe para valores acima de !

Agora estamos aptos a desenhar essa elipse! Já sabemos que ela não existe para valores menores que . Então, vamos olhar para os denominadores de e . Como o denominador de é , então a medida do eixo maior é . Como o denominador de é , então a medida do deixo menor é ! E como ela está centrada em , todos os pontos foram deslocados em no sentido positivo do eixo , logo, seu máximo que era em , agora é em .

E, enfim, aqui vai o desenho da elipse:

Veja que quando está prestes a atingir o valor de , a elipse já não existe mais.

b)

Esse enunciado é meio doido né? Deixa eu te explicar o que ele quer! Esse negócio de significa que queremos uma função em que damos um valor do intervalo e recuperamos uma dupla de valores no plano.

Que tipo de função faz isso? Pega um valor e leva em dois valores do plano? A parametrização de uma curva faz isso!

Então na verdade ele quer a parametrização daquela elipse do passo anterior, essa será e o intervalo são os valores que pode assumir!

Vamos agora determinar uma parametrização para essa elipse?

Bom, na verdade não tem nada demais. É basicamente parametrizar uma elipse como outra qualquer e depois restringir o domínio do parâmetro!

Veja, se para uma elipse genérica teríamos a parametrização:

Então para a nossa elipse teremos:

E, como , então,

Assim, nossa parametrização fica sendo:

1. Pra gente confirmar que a curva está contida numa curva de nível de , temos que fazer a substituição das coordenadas e da curva na função . Temos que:

Passo 2

Colocando esses e na função, fica assim:

Como ...

Beleza!! Conseguimos descobrir que o nível é !!

Isso prova que a imagem da curva está de fato contida na função , sendo parte da sua curva de nível .

Passo 3

2. Vamos esboçar ? Bom, é uma ótima ideia se a gente começar esboçando a própria curva de nível (gastaremos menos neurônios fazendo assim)

Como o nível da curva é , basta colocar esse valor para o , que fica:

Perfeito, agora que temos a curva, é só esboçá-la :) Não que isso seja sempre fácil, mas convenhamos, todos sabemos que é a hipérbole:

Tudo o que você tem que pensar agora é: Estamos elevando esse ao quadrado, então a curva nunca terá valores negativos! Aí pegamos essa parte da esquerda e refletimos ela pra cima, pegou a ideia? Assim, o gráfico de é:

Agora você me pergunta, mas e o ?? Não era ?

Calma! Tudo o que temos que fazer é transladar (nome bonito para pegar de um canto e botar no outro) cada ponto da curva uma unidade para baixo (no sentido negativo do eixo ). É como fingir que o eixo caiu pra posição :

Perfeito! Agora é só analisar qual é o intervalo que a nossa curva aparece.

Sabemos que . Quando varia entre e , o varia entre e , isso vai fazer o valor de ir de à , isso vai nos dizer o sentido dessa curva, temos que pegar a parte onde varia entre e e colocar ele indo do até o .

E fazendo o mesmo para , vemos que ela varia entre e .

Assim, pegamos a seção correspondente na curva , com o entre e , e o entre e

a)

A função é definida por uma raiz quadrada, ou seja: o termo dentro dela não pode ser negativo! Assim, a é definida na região

Dividindo tudo por 24:

Portanto, o domínio da função é o interior da elipse dada pela equação

É uma elipse centrada na origem e cujos semieixos valem no eixo , e no eixo .

Saca só a cara dela:

Tranquilo, achamos o domínio, mas agora precisamos esboçar o gráfico.

Vamos elevar isso ao quadrado (mas não podemos esquecer depois que ):

Isso tá com uma cara de elipsoide, de equação característica

Então vamos dividir tudo por 24, o que dá:

Realmente, isso é a equação de um elipsoide, com e .

Isso significa que se cortarmos o gráfico da função com planos paralelos aos planos coordenados vamos obter elipses.

No plano temos

que é a seguinte elipse:

No plano temos

que é a elipse:

Por fim, a interseção do gráfico com o plano é a elipse

Portanto, o gráfico que precisamos esboçar é a metade de um elipsoide (lembra que ?) cujas interseções com os planos coordenados são essas elipses que a gente viu aí em cima.

Aqui está nosso gráfico!

b)

Primeiro vamos determinar qual é o nível da curva de nível a qual o ponto pertence. Pra isso, vamos calcular o valor de em :

Beleza, então pertence à curva de nível de .

Agora vamos identificar essa curva, igualando a expressão da função a :

E isso, como era de se esperar, é a equação de uma elipse (é uma curva de nível de um elipsoide)!

Podemos botá-la na forma padrão dividindo tudo por 18:

Essa é a nossa curva !

c)

Vai que tá quase acabando! Agora só nos resta parametrizar essa elipse do item anterior. Tranquilo né?

Lembrando que tendo a equação de uma elipse na forma

podemos parametrizá-la assim:

Portanto, uma parametrização da curva é:

Pronto, só isso! :)

a)

Para determinarmos o domínio de uma função, devemos procurar por “problemas” que poderíamos vir a ter. Nesse caso, o único fator que limita o domínio da função é a raiz quadrada no denominador, que deve sempre ser maior que (pois está no denominador, e não poderia ser menor que porque é uma raiz). Assim, podemos afirmar que:

E desenvolvendo, teremos:

E o nosso domínio fica sendo o conjuntos dos pontos tais que .

Como o enunciado pede pra dar a interpretação geométrica do domínio, é só a gente esboçar a curva e depois pegar a região denotada por .

Bom, temos um termo isolado de potência e outro ao quadrado do lado direito. Isso só pode ser uma parábola!! De fato, é uma parábola, mas deitada (perceba, temos em função de , é uma parábola com os eixos trocados ;) ), com o vértice em e apontando no sentido positivo do eixo . Podemos concluir esses dois últimos fatos porque o coeficiente de é positivo, e se fizermos temos !

Assim, nossa curva é a parábola:

E a região que encontramos para o domínio é , ou seja, os pontos sempre a direita da linha da parábola, excluindo a própria linha, pois o sinal é de e não

Agora temos que encontrar essa curva de nível que contém o ponto . Bom, antes de mais nada, temos que descobrir qual é esse nível!!

Para isso, basta substituirmos o ponto dado na função. Fica assim:

Simples assim!

Agora que temos o nível, vamos igualar a função a essa constante, e então encontrar a equação para a curva .

Aqui vem um detalhe importante, perceba que o é igual a uma raiz! Só por isso já poderíamos afirmar que . Mas acontece que o argumento da raiz quadrada tem umas particularidades. Veja que se colocássemos , teríamos , ou seja, sobre alguma coisa dá ! Então não seria uma curva de nível , pois o valor de seria , e o não conseguiria “compensar”.

Continuando...

Podemos completar o quadrado para o , somando de cada lado:

E eis aí equação da nossa curva !! Vamos ver que curva é essa?

Temos a curva:

Que tem ambas as variáveis somadas e elevadas ao quadrado. E, além disso, os denominadores dessas variáveis são diferentes... É uma elipse! Veja, pela equação da elipse fica mais fácil de perceber:

Sendo que seus vértices estão em e , ou seja, e .

Mas, não esqueça do que falamos ali em cima, !! Então, na prática, temos uma parte da elipse, apenas. Que é a do lado positivo do eixo :

b)

Vamos parametrizar essa “elipse”? Bom, me parece mais fácil parametrizar a elipse toda, como se não tivéssemos essa parada de , e depois restringir o parâmetro. Vamos lá?

Se temos uma elipse genérica, , então sabemos que sua parametrização é:

Então, olhando pra isso, a parametrização da nossa elipse será:

Legal, agora temos que adicionar a restrição para completar a parametrização! Como e , temos que .

Assim, prosseguimos dizendo que e, portanto, . Para atender a este requisito, deve estar entre e .

E a parametrização fica sendo: