Domínio de Funções de 3 Variáveis

a)

Pra função ser definida, o termo dentro da raiz não pode ser negativo:

Portanto, o domínio de é o interior e a casca de uma esfera de raio 5 centrada na origem.

b)

Questão bem idiota mesmo! A função exponencial admite qualquer termo sem dar problema. Então o domínio dessa função é simplesmente todo o .

Beleza, vamos encontrar o domínio dessa! Lembre, comece sempre procurando quais são as restrições da função. Nesse caso, temos que o denominador da função não pode valer . Assim, tendo a função

Pronto! Agora é só passar o pro outro lado e...

Interpretemos isso. Se fosse um sinal de igual, teríamos uma reta, certo? Como é um sinal de diferente, temos tudo menos essa mesma reta! Ou seja, nosso domínio é todo o plano, menos a reta :

Po, mas você me disse na teoria que o domínio estaria no espaço e não no plano! Calma jovem gafanhoto!

Agora vem o “detalhe” percebeu que o não aparece na nossa função? Isso significa que para qualquer valor de e , teremos todos os valores possíveis para ! Como encontramos uma reta no passo anterior como sendo a restrição da nossa função, então essa restrição se expande para um plano! Veja, no gráfico da nossa função, que o domínio é todo o menos o plano

A questão é de domínio? Então vamos começar procurando pelas restrições! No nosso caso, aparentemente, não temos nenhuma a não ser o fato que o argumento da função logarítmo deve sempre ser maior que .

Assim, não função:

temos que o argumento

Agora é só trabalhar em cima da expressão encontrada, e ver que curva ela representa:

logo,

Percebe que a inequação é muito parecida com a equação de um elipsóide?

E encontramos

Ou seja, nosso , e ! E o sinal de “menor que” tem apenas a função de nos dizer que a função existe apenas para pontos dentro do elipsóide. Por exemplo, se pegarmos um ponto que esteja fora dele, acharemos um valor maior do que , o que torna a inequação falsa!

Legal, temos o nosso domínio, agora, como esboçá-lo? Temos que anular uma das variáveis e encontrar a curva no plano formado pelas outras duas. Por exemplo, anulando a variável , ou seja, fazendo , teremos:

Que representa uma elipse no plano , com seu interior preenchido (pelo sinal de “menor que”)

Agora, fazendo o mesmo para , tornando-o , temos a curva projetada no plano :

Perceba que é uma outra elipse, exatamente como a primeira, mas em outro plano!

Finalmente, anulando a variável , encontramos

Que é a equação de uma circunferência no plano , pois os denominadores de e possuem o mesmo valor!

Juntando as curvas com interior preenchido que encontramos, temos como esboçar o elipsóide! Basta desenhar cada umas dessas curvas em seus respectivos plano, e depois completar com as linhas que formariam o sólido