Diferenciabilidade – Cálculo do Erro

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Agora vamos ver uma maneira infalível de determinar a Diferenciabilidade de uma função de 2 variáveis.

Já vou avisando pra você se preparar psicologicamente pra fazer contas gigantes nos exercícios desse tipo. Isso porque, pra mostrar que uma função f x , y é diferenciável num ponto x 0 , y 0 , temos que provar que

lim h , k → 0,0 ⁡ f x 0 + h , y 0 + k - f x 0 , y 0 - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 h - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 k h 2 + k 2 = 0

Minha reação quando eu vi esse limite pela primeira vez foi mais ou menos assim:

Mas relaxa que geralmente as contas acabam dando uma simplificada (as derivadas parciais se anulam por exemplo).

Aliás, falando em derivadas parciais, muitas vezes teremos que calculá-las pela definição. Então é bom lembrar como faz isso! ;)

Vamos ver um exemplo! A função f é diferenciável na origem?

f x , y = x 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

Geralmente, o nosso reflexo tem que ser testar a continuidade da função no ponto pedido. Se ela não for contínua ela não será diferenciável.

Não vou entrar em detalhes das contas porque aqui não é o propósito, mas dá pra provar, sem grandes dificuldades, que

lim x , y → 0,0 ⁡ x 3 x 2 + y 2 = 0 = f 0 ,   0

Assim, a função é contínua na origem.

Por isso, pra testar a diferenciabilidade, temos que partir pro cálculo do limitão e ver se dá zero!

Mas pra isso precisamos das derivadas parciais da f em 0 ,   0 , então vamos calculá-las.

f x , y = x 3 x 2 + y 2

Se a gente tentar derivar normalmente, usando a regra do quociente, o denominador das derivadas parciais vai ser x 2 + y 2 2 . Ou seja, em 0 ,   0 temos uma divisão por zero!

Então vamos ter que usar a definição de derivada parcial. Lembrando:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Então no nosso exemplo, com x 0 ,   y 0 = 0 ,   0 , temos

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 - 0 x = lim x → 0 ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

E pra derivada parcial em relação a y :

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Então

∂ f ∂ x 0,0 = 1

∂ f ∂ y 0,0 = 0

Show, então nosso limite vai ser:

lim h , k → 0,0 ⁡ f 0 + h , 0 + k - f 0,0 - ∂ f ∂ x 0,0 h - ∂ f ∂ y 0,0 k h 2 + k 2 =

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - 0 - 1 h - 0 k h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 h 2 + k 2 - h h 2 + k 2

Ajeitando um pouco isso:

lim h , k → 0,0 ⁡ h 3 - h h 2 + k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2

= lim h , k → 0,0 ⁡ - h k 2 h 2 + k 2 h 2 + k 2

Que limite triste de calcular né? É melhor tentar provar que o limite não existe. A gente pode fazer uma substituição simples h = k , que dá:

lim h → 0 ⁡ - h 3 2 h 2 2 h 2 = lim h → 0 ⁡ - h 2 2 h 2

Repara que, como temos h 2 = h , temos que separar em dois casos, um quando h → 0 + e um quando h → 0 - .

Se h → 0 + :

lim h → 0 + ⁡ - h 2 2 h 2 = lim h → 0 + ⁡ - h 2 2 h = - 1 2 2

Esse limite não deu zero! Já está errado! Mas ainda podemos ver o caso h → 0 - :

lim h → 0 - ⁡ - h 2 2 h 2 = lim h → 0 - ⁡ - h 2 2 - h = 1 2 2

Ou seja, não só o limite não existe, porque os limites laterais são diferentes, ele também não vale zero!

Portanto, podemos concluir que f não é diferenciável em 0 ,   0 .

Captou a ideia? Então partiu treinar nos exercícios!

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