Diferenciabilidade – Cálculo do Erro
Produzido por Bruno NeresTeoria
Agora vamos ver uma maneira infalível de determinar a Diferenciabilidade de uma função de 2 variáveis.
Já vou avisando pra você se preparar psicologicamente pra fazer contas gigantes nos exercícios desse tipo. Isso porque, pra mostrar que uma função é diferenciável num ponto , temos que provar que
Minha reação quando eu vi esse limite pela primeira vez foi mais ou menos assim:
Mas relaxa que geralmente as contas acabam dando uma simplificada (as derivadas parciais se anulam por exemplo).
Aliás, falando em derivadas parciais, muitas vezes teremos que calculá-las pela definição. Então é bom lembrar como faz isso! ;)
Vamos ver um exemplo! A função é diferenciável na origem?
Geralmente, o nosso reflexo tem que ser testar a continuidade da função no ponto pedido. Se ela não for contínua ela não será diferenciável.
Não vou entrar em detalhes das contas porque aqui não é o propósito, mas dá pra provar, sem grandes dificuldades, que
Assim, a função é contínua na origem.
Por isso, pra testar a diferenciabilidade, temos que partir pro cálculo do limitão e ver se dá zero!
Mas pra isso precisamos das derivadas parciais da em , então vamos calculá-las.
Se a gente tentar derivar normalmente, usando a regra do quociente, o denominador das derivadas parciais vai ser . Ou seja, em temos uma divisão por zero!
Então vamos ter que usar a definição de derivada parcial. Lembrando:
Então no nosso exemplo, com , temos
E pra derivada parcial em relação a :
Então
Show, então nosso limite vai ser:
Ajeitando um pouco isso:
Que limite triste de calcular né? É melhor tentar provar que o limite não existe. A gente pode fazer uma substituição simples , que dá:
Repara que, como temos , temos que separar em dois casos, um quando e um quando .
Se :
Esse limite não deu zero! Já está errado! Mas ainda podemos ver o caso :
Ou seja, não só o limite não existe, porque os limites laterais são diferentes, ele também não vale zero!
Portanto, podemos concluir que não é diferenciável em .
Captou a ideia? Então partiu treinar nos exercícios!