Diferenciabilidade – Cálculo do Erro
Teoria
Agora vamos ver uma maneira infalível de determinar a Diferenciabilidade de uma função de 2 variáveis.
Já vou avisando pra você se preparar psicologicamente pra fazer contas gigantes nos exercícios desse tipo. Isso porque, pra mostrar que uma função é diferenciável num ponto , temos que provar que
Minha reação quando eu vi esse limite pela primeira vez foi mais ou menos assim:
Mas relaxa que geralmente as contas acabam dando uma simplificada (as derivadas parciais se anulam por exemplo).
Aliás, falando em derivadas parciais, muitas vezes teremos que calculá-las pela definição. Então é bom lembrar como faz isso! ;)
Vamos ver um exemplo! A função é diferenciável na origem?
Geralmente, o nosso reflexo tem que ser testar a continuidade da função no ponto pedido. Se ela não for contínua ela não será diferenciável.
Não vou entrar em detalhes das contas porque aqui não é o propósito, mas dá pra provar, sem grandes dificuldades, que
Assim, a função é contínua na origem.
Por isso, pra testar a diferenciabilidade, temos que partir pro cálculo do limitão e ver se dá zero!
Mas pra isso precisamos das derivadas parciais da em , então vamos calculá-las.
Se a gente tentar derivar normalmente, usando a regra do quociente, o denominador das derivadas parciais vai ser . Ou seja, em temos uma divisão por zero!
Então vamos ter que usar a definição de derivada parcial. Lembrando:
Então no nosso exemplo, com , temos
E pra derivada parcial em relação a :
Então
Show, então nosso limite vai ser:
Ajeitando um pouco isso:
Que limite triste de calcular né? É melhor tentar provar que o limite não existe. A gente pode fazer uma substituição simples , que dá:
Repara que, como temos , temos que separar em dois casos, um quando e um quando .
Se :
Esse limite não deu zero! Já está errado! Mas ainda podemos ver o caso :
Ou seja, não só o limite não existe, porque os limites laterais são diferentes, ele também não vale zero!
Portanto, podemos concluir que não é diferenciável em .
Captou a ideia? Então partiu treinar nos exercícios!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, p.103 (modificado)
Verifique se a função abaixo é diferenciável em .
Passo 1
Primeiramente, vamos testar a continuidade da função. Temos que testar se
Pra isso calculamos o limite:
Temos
E o seno é limitado:
Logo, pelo teorema do anulamento:
Portanto, a função é contínua na origem, o que não prova nada em relação à sua diferenciabilidade.
Passo 2
Então não tem jeito, precisamos achar as derivadas parciais e depois fazer o limite
E ver se ele é zero.
Portanto, calculemos as derivadas parciais em .
Passo 3
Como temos um ponto de indeterminação temos que fazer pela definição. Começando com a derivada em relação a
Aqui basta aplicar o teorema do anulamento que nem fizemos agora a pouco. Temos algo tendendo a zero multiplicando uma expressão limitada
Logo,
Passo 4
Agora vamos para a derivada em relação a
É um limite idêntico ao anterior então já sabemos que ele é
Passo 5
Agora que vimos que ele tem derivadas parciais precisamos achar
Passo 6
De novo, mesmo esquema pra calcular o limite. Aliás, esse é bem parecido com o que fizemos lá no começo.
Logo,
O limite loucão deu , então a função é diferenciável em .
Resposta
A função é diferenciável em .
Exercício Resolvido #2
Cálculo 2 USP, P2 2010 A, questão 2
Seja .
a) Calcule as derivadas parciais de nos pontos tais que .
b) Calcule as derivadas parciais de em .
c) Existem e quando e são não-nulos?
d) Determine os pontos em que é diferenciável. Justifique.
Passo 1
a)
Bom, esse passo é só derivar normalmente a função! Se temos:
Então, pela regra da cadeia:
Pronto, só isso!
Passo 2
b)
Agora, vejamos as derivadas em . Como nesse ponto as derivadas calculadas no item possuem indeterminação, vamos calculá-las pelo limite da derivada.
Para a derivada em relação a , teremos:
Colocando a função, teremos:
Ou seja, a derivada em relação a é !
Passo 3
Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:
Colocando a , fica:
E aí temos que a derivada em relação a também vale :D Pronto, só isso mesmo!
Passo 4
c)
Aqui é basicamente resolver de novo o passo anterior, mas trocando o por ou dependendo do caso. Por exemplo, para a derivada em relação a , teríamos:
Colocando a função, teremos:
Ou seja, se temos o limite vai para infinito positivo, e para , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto .
Passo 5
Agora, fazendo o mesmo para a derivada em relação a , teremos:
Colocando a função, teremos:
Da mesma forma, se o limite vai para infinito positivo, e para , vamos para o infinito negativo! Assim, não existe derivada para qualquer ponto .
Passo 6
d)
Calculamos as derivadas parciais de e achamos
Para , não tem nenhuma problema com as derivadas parciais: elas são contínuas, e portanto, é diferenciável.
Passo 7
Agora temos que ver se as derivadas parciais são contínuas para .
Temos 3 possibilidades: ou e , ou e , ou .
As 2 primeiras possibilidades são justamente as que vimos no item anterior, são os pontos e . Concluímos que as derivadas parciais não existem nesses pontos, portanto neles a função não é diferenciável.
Passo 8
Agora só resta o ponto . As derivadas parciais existem nesse ponto, mas isso não garante a diferenciabilidade da função!
Para ver se a função é diferenciável na origem, precisamos resolver esse limite:
Como as derivadas parciais em valem , então temos que esse limite gigante se resume a:
Passo 9
Para resolver agora esse limite de duas variáveis, escolhamos o caminho , por exemplo:
Como o grau de cima é menor que o de baixo, teremos:
E, quando , temos o limite indo para ! Dessa forma, vemos que o limite não pode existir, e, portanto, a função não pode ser diferenciável!
Passo 10
Disso tudo, concluímos que a função é diferenciável apenas nos pontos tais que .
Resposta
a) e
b)
c) Não existem derivadas para pontos do tipo ou
d) A função é diferenciável nos pontos tais que
Exercício Resolvido #3
Cálculo 2 USP, P2 2012 A, questão 1
Seja . Em que pontos de é diferenciável? Justifique!
Passo 1
Para ser diferenciável, então temos que encontrar as derivadas parciais dessa função, e jogar no limite abaixo, vendo se ele dá .
Como queremos saber em quais pontos do ela é diferenciável, vamos fazer as derivadas e ver onde elas são contínuas. Nesses pontos, a função com certeza é diferenciável.
Depois fazemos o limite aí de cima para os pontos onde elas não forem contínuas e vemos quando ele vale . Os pontos que satisfizerem essa condição, serão aqueles nos quais a função é diferenciável ;)
Passo 2
Partiu encontrar as derivadas parciais!
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia, tratando como constante. Derivamos a função cosseno, depois o argumento dela, :
E a derivada em relação a é:
Show! Uma das condições para a função ser diferenciável, é que ela tenha as primeiras derivadas parciais contínuas. Nesse caso, essas derivadas são contínuas em todo o menos na origem (pelo termo que tem expoente negativo, não podemos mandar no denominador).
Mas atenção: o fato de termos um ponto de descontinuidade nas derivadas parciais não exclui a possibilidade da função ser diferenciável! O que podemos dizer é que, quando elas são contínuas, então são diferenciáveis! Enfim, não temos, nesse caso, como fugir do limite feio.
Passo 3
Colocando o ponto problemático em relação a continuidade no limite da diferenciabilidade,
Aí temos um problema: quais são os valores das derivadas em ? Para saber isso, precisamos fazer a derivada pela definição do limite de derivada parcial:
Colocando o ponto que queremos saber a derivada, :
Passo 4
Como temos cosseno menos no numerador, é uma boa ideia multiplicar por cosseno mais . Aí teremos cosseno ao quadrado menos , que é o mesmo que seno ao quadrado!
Passo 5
Aí vem uma carteada que não dá pra fugir... Se você observar, temos , que é o limite manjado, limitado, que dá (o fato de ser nao muda o limite, basta pensar em fazer substituição , ficando ).
Enfim, para aparecer esse limite aí, temos que mexer no denominador:
Veja que esse manejo é válido porque temos . Show? Agora vamos colocar esse quadrado do seno pra fora da fração, e passar o menos para fora também:
E aí está! O limite dá :D Isso significa que a derivada parcial em relação a no ponto é !
Passo 6
Ainda precisamos da derivada em relação a :/ Mas os cálculos são praticamente idênticos! Fazendo o limite que define a derivada parcial em relação a , no ponto , temos:
E agora chegamos numa equação exatamente igual a qual fizemos para o ! Tipo, exatamente igual mesmo, só muda o fato de que antes tínhamos onde tem ! Seguindo os mesmos passos, a coisa tem que dar .
Então, no ponto :
Passo 7
Agora voltamos no limite da diferenciabilidade, com as nossas derivadas já calculadas :)
Passo 8
Opa! Está vendo o mesmo que eu? Não tá ficando muito parecido com o limite que fizemos para as derivadas em relação a e a ? Vamos fazer uma substituição aqui para não precisar carregar esse para todo lado? Se chamarmos , teremos:
Multiplicando em cima e em baixo por , teremos:
Passo 9
Aqui, assim como no cálculo das derivadas, queremos que no denominador tenha depois que mandarmos o quadrado para fora. Então, temos que ter no denominador e no numerador, para compensar e quando dividir um pelo outro sobrar , que é o do denominador. Fica, então:
E, enfim, chegamos a conclusão de que a função é diferenciável na origem, pois o limite deu !
Resposta
A função é diferenciável em todos os pontos do
Exercício Resolvido #4
Cálculo 2 USP, PSUB 2012, questão 1
Seja a função
(a) Mostre que é contínua em .
(b) Calcule e .
(c) A função é diferenciável em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
(a)
Pra ser contínua em , ela deve tender ao valor que ela assume em , certo?
E esse valor é ! Portanto, precisamos provar que:
Passo 2
É nessa hora que você olha a função e bate aquele desespero né? Realmente é uma função bem chata.
Mas repare que temos um seno no numerador: é um indício que poderíamos usar o Teorema do Sanduíche. Nesse caso, inclusive, vamos utilizar o limite fundamental do seno, aquele:
Mas primeiro vamos ter que dar uma boa manipulada na . Como temos , podemos multiplicar em cima e em baixo por ; assim vai aparecer o limite fundamental do seno :)
Ajeitando um pouco, isso dá:
E, pelo limite fundamental do seno:
Passo 3
Beleza, achamos o nosso limite do seno, então vamos deixar ele de lado por enquanto e nos concentrar na fração da direita, ok?
Bom, agora é respirar fundo e partir pras contas e manipulações algébricas, porque essa fração da direita ainda tá bem estranha!
Vamos começar botando numa raiz cúbica só nela, que tal? Já que temos duas no numerador. Desse jeito:
Dando mais uma ajeitada:
E aí? Isso adiantou alguma coisa? Na verdade, isso é ótimo!
Passo 4
Se você não ficou convencido, o que eu entendo, dá uma olhada:
- Do lado de fora da raiz cúbica, temos :
- Dentro da raiz cúbica, temos primeiro . E essa expressão é limitada!
- O outro termo que temos é , que também é limitado!
Dividindo tudo por :
Podemos novamente montar uma inequação:
E, divindo tudo por :
Passo 5
Portanto, quando fazemos
é como se tivéssemos:
Ou seja (pelo teorema do anulamento):
Show! Estamos quase acabando!
Passo 6
Vamos recapitular o que fizemos pra poder concluir:
Logo, é contínua em .
Ufa! Demorou, mas conseguimos!
Passo 7
(b)
Vamos calcular as derivadas parciais em ? Vamos começar com , fazendo esse limite:
O que na nossa função estranha vai dar:
Passo 8
Uma boa agora é usar o mesmo macete da letra (a), tentando cavar um limite fundamental do seno:
Vamos ajeitar um pouco:
Note que:
Show! Então vamos ter:
Logo:
Passo 9
Firmeza, agora vamos pra derivada parcial em relação a :
O que vai dar:
Portanto
Passo 10
(c)
Achamos as derivadas parciais em mas infelizmente isso não garante a diferenciabilidade da função nesse ponto. Para isso vamos ter que verificar a relação bizarra abaixo:
De uma certa forma, se esse limitão tender a , ele nos garante que a função vai ser diferenciável em todas as direções, e não só nas direções dos eixos e . Enfim, vamos pôr a mão na massa! O limite vai ficar:
Passo 11
A coisa tá com cara feia, mas pode ficar calmo!
Vamos primeiro assumir que o limite não dá . Lembra que em funções de várias variáveis podemos chegar em um limite por infinitos caminhos? Então, basta verificar que um caminho não dá certo pra provar que o limite está errado!
Vamos escolher um caminho que facilite nossas contas, como . Assim vamos ter:
Passo 12
Note que o limite passou a ser com uma só variável. Bem, agora vamos, como sempre manipular a expressão pra tentar cavar um limite fundamental do seno, o que vai dar
O que dá:
Passo 13
Vamos especificar ainda mais o caminho, fazendo
Assim, com o limite fundamental do seno, obtemos:
Por esse caminho o limite não dá e isso já é o suficiente para afirmarmos que o limite geral é diferente de :)
Depois de tanta conta, é com prazer que eu afirmo que a função não é diferenciável em .
Resposta
a) Bem, como tem que demonstrar não tem como eu botar a resposta aqui de maneira concisa haha
b) e
c) Não.