Regra da Cadeia – 1 Parâmetro
Teoria
Introdução
Lá no cálculo de uma variável a gente conheceu a regra da cadeia. Usávamos ela para derivar funções compostas. Ela funcionava desse jeitinho:
Que significava derivar a função de fora no ponto da função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro, certo?
Agora a gente vai precisar derivar funções de várias variáveis compostas, logo, teremos que usar a regra da cadeia. Será que a gente pode usar essa mesma ideia que relembramos acima? Vem descobrir!
Regra da Cadeia Caso 1 – 1 parâmetro
O primeiro caso de regra da cadeia para funções de várias variáveis é aquele em que temos a função “de fora” de duas variáveis e , e cada uma dessas variáveis é função de uma única variável , a qual a gente chama de parâmetro. Por exemplo:
Ou seja, é uma função composta:
Digamos que a gente quer encontrar em . Como faz?
Esse é o momento de reciclar a regra da cadeia do cálculo de uma variável. Se a gente definir:
Nossa função pode ser reescrita assim:
Se a gente quer derivar ela em relação a , podemos fazer a derivada da função de fora no ponto da função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro. Só vamos fazer umas adaptações:
- A derivada da função de fora vai ser o gradiente de , já que ela é uma função de duas variáveis.
- A derivada da função de dentro vai ser a derivada da função vetorial .
- Já que essas duas coisas são vetores, em vez de usar multiplicação, a gente usa o produto escalar.
Então, nossa regra da cadeia turbinada fica assim:
Que é o mesmo que:
E essa é nossa fórmulinha. Pode usar ela direto, se quiser.
Vamos continuar nosso exemplo então:
Primeiro vamos trabalhar na parte da função gradiente! A sequência é: achar quem é e , em ; calcular a função gradiente; e depois substituir . Vamos lá!
Passo 1: A primeira coisa que a gente precisa fazer é descobrir quais valores de e a gente tem para , já que e .
Passo 2: Agora a gente calcula o gradiente de .
Passo 3: Vamos substituir o ponto nesse gradiente.
Primeiro vamos trabalhar na parte do ! A sequência é: definir quem é essa função; fazer a derivada; e depois substituir . Vamos lá!
Passo 4: Definimos:
Passo 5: Calculamos a derivada da função vetorial.
Passo 6: Substituímos
Pronto! Já temos as duas partes, agora usamos a regra da cadeia turbinada:
Resumindo o passo a passo para você:
- Determinar o ponto correspondente ao dado
- Calcular o gradiente de
- Calcular o gradiente de no ponto
- Definir uma função
- Derivar a função
- Calcular a derivada da função no dado
- Substituir os resultados obtidos na formula
Vamos lá exercitar esse primeiro caso! ;)
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.114, exercício 6a
Suponha que é uma função de classe e
Sabe-se que a curva de equação
Está contida no gráfico da função . Calcule , onde é o valor de no ponto
Passo 1
Sabemos que a curva está contida na superfície , certo? E tem essa cara aqui,
Repara que as componentes e são independentes. Porém a componente é dependente de e . Ou seja,
Desta forma podemos reescrever a nossa equação assim,
Em resumo, para um valor um determinado valor de teremos uma coordenada em e e a partir delas teremos o ponto em .
Separando, temos que
Podemos então usar a regra da cadeia para calcular !
Passo 2
Calcular o correspondente e :
Resolvendo esse sistema temos que
Passo 3
Calcular gradiente da função:
A questão já nos dá o gradiente de no ponto:
Passo 4
Definir função vetorial
Como depende de e , vamos definir
Então:
Passo 5
Derivar parametrização:
Passo 6
Calcular derivada em :
Passo 7
Agora como queremos achar a derivada no ponto é só fazer o produto escalar:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UERJ, Cálculo 2, Professora Naomi, Lista 14, questão 4
A temperatura num ponto é , medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por , onde e são medidas em centímetros. A função temperatura satisfaz . Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?
Passo 1
Entendimento:
Temos uma função que não sabemos qual é, mas conhecemos as funções e . O quão rápido a temperatura aumenta depois de 3 segundos é o mesmo que perguntar qual é a derivada de em relação ao tempo quando , e para isso, basta usar a regra da cadeia!
A derivada parcial é dada por
Passo 2
Comecemos encontrando as derivadas em relação ao tempo para e quando
Com ...
Quando ...
Com ...
Passo 3
Agora, pelo enunciado, podemos perceber que em e ocorre de ser 3! Claro, sem essa “coincidência”seria impossível fazer a questão! Para conferir que isso é verdade, basta substituir os valores de e por 2 e 3 respectivamente em suas equações.
Passo 4
Agora, basta substituir os valores que temos na equação do Passo 1
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ, Cálculo 2, P2 2009.1, questão 3, item a
Seja uma função diferenciável e suponha que ela representa a temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as dimensões , e são medidas em metros). Suponha ainda que possui as seguintes propriedades:
Uma mosca está voando por esta sala.
Se a posição em cada instante (dado em segundos) for representada pelo caminho
Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo neste caminho, no instante segundos.
Passo 1
Calcular gradiente da função:
Não temos a função, mas o problema nos fornece os valores das derivadas parciais em um ponto:
Como o enunciado pede a taxa de variação em , muito provavelmente, esse ponto corresponde a .
Passo 2
Definir função vetorial:
Vamos definir
Então:
Passo 3
Derivar parametrização:
Passo 4
Calcular , e correspondentes a :
Então , e quando .
Logo, o ponto realmente corresponde a e por isso mesmo que o problema forneceu as derivadas parciais nesse ponto.
Passo 5
Calcular gradiente nesse ponto:
Já foi feito no primeiro passo:
Passo 6
Calcular derivada em :
Passo 7
Agora é só fazer o produto escalar:
Resposta
A taxa de variação é de após segundos.
Exercício Resolvido #4
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, p. 225, exercício 21
Seja
Suponha
- Expresse em termos das derivadas parciais de
- Calcule
Passo 1
O que temos ai é:
Então, pelo caso I da Regra da Cadeia, sabemos que
Então
Passo 2
Calcular e correspondentes a :
Então , e quando .
Passo 3
Agora, precisaríamos calcular o gradiente de , mas não temos a expressão dela e a questão só nos dá
Já vimos que esse é o ponto correspondente a , então tá beleza.
Agora repara que ele pede a derivada de quando e pela expressão que achamos para na letra , as componentes da derivada de que nós não sabemos estão sendo multiplicadas por . Então, quando substituirmos elas vão desaparecer. Logo, não precisamos nos preocupar com elas.
Passo 4
Assim, temos:
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.1, questão múltipla escolha 3
Sejam uma função diferenciável no ponto e . Sabendo que
podemos afirmar que vale:
(a) .
(b)
(c)
(d)
(e) nada pode se afirmar
Passo 1
O enunciado nos deu um tal que
Ele pediu o (2,1). Mas repare que com temos
Ou seja
Ótimo!
Enfim, pela regra da cadeia, temos
E ele deu
Ou seja, com :
Vamos isolar , que é o que ele pediu:
Pronto! Então temos que achar essas 3 derivadas da direita!
Passo 2
Como já vimos, com temos
Ou seja
E ele já nos deu no enunciado :)
Passo 3
Show! Agora vamos achar e !
Então
e
E com :
Passo 4
Excelente! Agora basta jogar tudo que achamos na fórmula:
Resposta
Alternativa (c)