Regra da Cadeia – 1 Parâmetro
Produzido por Bruno NeresTeoria
Introdução
Lá no cálculo de uma variável a gente conheceu a regra da cadeia. Usávamos ela para derivar funções compostas. Ela funcionava desse jeitinho:
Que significava derivar a função de fora no ponto da função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro, certo?
Agora a gente vai precisar derivar funções de várias variáveis compostas, logo, teremos que usar a regra da cadeia. Será que a gente pode usar essa mesma ideia que relembramos acima? Vem descobrir!
Regra da Cadeia Caso 1 – 1 parâmetro
O primeiro caso de regra da cadeia para funções de várias variáveis é aquele em que temos a função “de fora” de duas variáveis e , e cada uma dessas variáveis é função de uma única variável , a qual a gente chama de parâmetro. Por exemplo:
Ou seja, é uma função composta:
Digamos que a gente quer encontrar em . Como faz?
Esse é o momento de reciclar a regra da cadeia do cálculo de uma variável. Se a gente definir:
Nossa função pode ser reescrita assim:
Se a gente quer derivar ela em relação a , podemos fazer a derivada da função de fora no ponto da função de dentro, e multiplicar pela derivada da função de dentro. Só vamos fazer umas adaptações:
- A derivada da função de fora vai ser o gradiente de , já que ela é uma função de duas variáveis.
- A derivada da função de dentro vai ser a derivada da função vetorial .
- Já que essas duas coisas são vetores, em vez de usar multiplicação, a gente usa o produto escalar.
Então, nossa regra da cadeia turbinada fica assim:
Que é o mesmo que:
E essa é nossa fórmulinha. Pode usar ela direto, se quiser.
Vamos continuar nosso exemplo então:
Primeiro vamos trabalhar na parte da função gradiente! A sequência é: achar quem é e , em ; calcular a função gradiente; e depois substituir . Vamos lá!
Passo 1: A primeira coisa que a gente precisa fazer é descobrir quais valores de e a gente tem para , já que e .
Passo 2: Agora a gente calcula o gradiente de .
Passo 3: Vamos substituir o ponto nesse gradiente.
Primeiro vamos trabalhar na parte do ! A sequência é: definir quem é essa função; fazer a derivada; e depois substituir . Vamos lá!
Passo 4: Definimos:
Passo 5: Calculamos a derivada da função vetorial.
Passo 6: Substituímos
Pronto! Já temos as duas partes, agora usamos a regra da cadeia turbinada:
Resumindo o passo a passo para você:
- Determinar o ponto correspondente ao dado
- Calcular o gradiente de
- Calcular o gradiente de no ponto
- Definir uma função
- Derivar a função
- Calcular a derivada da função no dado
- Substituir os resultados obtidos na formula
Vamos lá exercitar esse primeiro caso! ;)