Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições
Teoria
Olá, galerinha! Esse tópico aqui é mais um tópico para falar de como calcular máximos e mínimos. Mas agora a gente não quer simplesmente calcular o máximo e mínimo de uma função, a gente quer determiná-los dentro da interseção de duas superfícies (ou seja, como duas restrições).
Não entendeu? Vamos com um exemplo para ficar mais claro!
Exemplo: Vamos achar os pontos de máximo e mínimo de sobre a curva de interseção do cilindro com o plano .
Então galera a superfície do cilindro e do plano são as nossas duas restrições e quando eles cruzarem, teremos a nossa curva de interseção. E vai ser em cima dessa curva que vamos buscar os máximos e mínimos da função.
Até aqui ok, vamos como se calcula?
Então, galerinha, a gente vai calcular usando essa formulazinha aqui
Onde:
é o gradiente da minha função
é o gradiente de uma das restrições (por exemplo, a superfície do cilindro)
é o gradiente da segunda restrição (por exemplo, a superfície do plano)
são os multiplicadores de Lagrange
Agora vamos aplicar a fórmula!
Mas antes de calcular o gradiente de e , nós temos que jogar tudo para a esquerda de modo que ficamos com o lado direito sendo zero.
Agora sim, vamos calcular os gradientes das funções , e . E a gente faz isso derivando
Usando o multiplicador de Lagrange ficamos com:
Agora para determinar , vamos montar um sistema. A gente faz isso igualando termo a termo e acrescentando as equações das superfícies, ficamos com o sistema:
Pela equação a gente consegue saber quem é :
Substituindo isso na equação , achamos:
Colocando esses dois resultados na , encontramos:
Substituindo na , temos:
Agora, vamos começar substituindo na :
Lembrando que , então nesse caso, . Assim, da equação , temos:
Portanto, obtemos um primeiro ponto:
Só valor bizarro hein?
Ainda temos o caso , que nos dá e que na equação fica:
Então temos mais um ponto:
Ufa, quase acabamos!
Agora para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:
E
Portanto, o valor máximo de com as 2 restrições do enunciado é , obtido no ponto , enquanto o valor mínimo é , obtido no ponto .
Até que enfim!
Aqui vai um resumo com o passo a passo:
- Calcular gradiente da função:
- Pega a equação das superfícies e joga tudo para o lado esquerdo e deixe zero no lado direito
- Definir função e sendo o lado esquerdo das equações acima
- Calcular gradiente de e
- Utilizar multiplicador de Lagrange:
- Adicionar a equação das superfícies ao sistema encontrado acima
- Resolver o sistema
- Substituir pontos encontrados e verificar quais são os pontos de máximo e mínimo
Método alternativo por matriz
O começo desse método é igual, definimos 2 restrições na forma e . Depois é que muda: a equação que temos que resolver é:
Portanto, botamos as derivadas parciais das 3 funções nas linhas de uma matriz, e igualamos o determinante dessa matriz a zero.
No exemplo que fizemos o determinante seria:
O que dá:
Que nem achamos antes! Daí pra frente as contas são as mesmas, basta substituir nas equações das superfícies, resolver o sistema e achar aqueles pontos malucos.
Quando os gradientes não são muito complicados, e tem vários zeros que nem esses por exemplo, esse método pode ser uma boa! Não tem que ficar lidando com e :)
Método alternativo por matriz
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Cálculo 2 UNICAMP, P1 2013 Tarde, questão 2
Determine o valor de máximo e de mínimo de sobre a curva de interseção das superfícies e
Passo 1
Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.
Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro :
E, para a outra, temos um paraboloide hiperbólico:
Agora você me pergunta: Mas como eu vou encontrar essa curva de interseção?!? E eu te respondo: Também não sei XD
Pois é, vai ser massacrante. Se fosse uma curva bonitinha, uma circunferência no plano , a gente até se esforçava pra encontrar...
E agora? O que faremos? Vamos simplesmente ignorar que estamos em uma curva! Vamos dizer que temos duas restrições! Sim, pois estar sobre uma curva é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!
Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:
Em que e são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e e são seus multiplicadores!
Passo 2
Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função :
E, então, nosso vetor gradiente é:
Agora, para a equação do cilindro,
E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:
Por fim, para o paraboloide hiperbólico, teremos:
E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:
Perfeito! Fiz essa parte rapidinho por que né… vamos matar logo essas derivadas ;) Só pra organizar, nossos vetores gradiente são:
Passo 3
Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:
Igualando as coordenadas, temos:
Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de será ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:
Dando aquela ajeitadinha...
Passo 4
Perfeito, o que mais podemos fazer? Está vendo a segunda equação? Veja que, para ela ser , então, ou , ou , certo? Vamos usar isso então para descobrir os valores de e !
Tomando , podemos ir direto para a equação das restrições. Vamos ver o que encontramos para esses valores de na restrição :
Beleza! Agora, que temos que, se , então , podemos descobrir o valor de , pela restrição :
E aí está! Como , tanto faz se é ou ! Com isso, chegamos em dois pontos,
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando , lembra? Colocando esse valor para na segunda equação, não temos nada de interessante, mas, para a primeira, temos:
E aí está! Com esse valor de , podemos descobrir o valor de pela restrição :
Beleza! Agora, que temos que, se , então , podemos descobrir o valor de , pela restrição :
Com isso, chegamos em dois pontos,
Tranquilo até aqui?
Passo 6
Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Fechada a questão! é o ponto de máximo, e e são os pontos de mínimo!
Resposta
é o ponto de máximo e e são os pontos de mínimo.
Exercício Resolvido #2
Cálculo 2 USP, P3 3010, questão 4
Seja . Sabendo que é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de que estão mais próximos e mais distantes de .
Passo 1
Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em pode ser dada por:
Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!
Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície como no plano ! Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!
Passo 2
Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:
Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de e a segunda de . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:
Passo 3
Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função :
Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor ao invés de !
Agora, calculando as derivadas parciais de ,
Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente por ! Assim, não teremos mais esses coeficientes, todos iguais, tirando o último do ;) Usaremos, então, o vetor
E, enfim, as derivadas de ,
Passo 4
Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:
Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:
Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!
Se subtraírmos a segunda (contando de cima para baixo) da primeira, teremos:
Viu? Conseguimos eliminar o :)
Se subtraírmos a terceira da segunda, teremos:
Passo 5
Do primeiro resultado que tiramos,
Temos que , ou , concorda?
Supondo que , a segunda equação que fizemos , fica assim:
Aí agora olhamos para as outras equações que temos, e vemos o que podemos fazer… Veja que, na equação , também aparece . Então, subtraíndo a equação com da , temos:
Finalmente!! Conseguimos algum resultado, hein? Suando aqui…
Passo 6
Como temos uma das variáveis, com valor definido, e temos duas equações para as restrições, é melhor negocio substituir nas equações e e encontrar as variáveis e :D
Colocando na equação , temos:
E, colocando essa relação entre e na equação , temos:
Desenvolvendo a equação...
Resolvendo a equação do segundo grau, temos:
E aí está! Mais dois possíveis valores para !
Passo 7
Lembrando que conseguimos esses valores com o e com a relação . Jogando de volta os valores de nesse última equação, temos:
Assim, temos que quando , e vice versa!
Conseguimos, por fim, os seguintes pontos, juntando os respectivos valores de , e :
Passo 8
Acha que terminou?? Não está esquecendo de nada? Qual foi a “premissa” que tomamos para chegar nesses dois pontos? Foi dizer que , lembra!? Agora temos que testar o caso em que !
Mas parece que vai ser um pouco menor, afinal, já temo que , então, quando encontrarmos , encontramos !
Colocando na equação , teremos:
Colocando na equação , teremos:
Pegando, então, a relação e jogando nessa última equação,
E daí tiramos que, ou , ou ! Beleza?
Assim, já temos também os valores de , pois , lembra? E, para descobrir os valores de , temos a relação:
Logo, se , e, se ,
Juntando esses valores, temos os pontos:
Passo 9
Agora sim!! Temos tudo o que precisamos, já testamos todos os casos, agora é pegar cada ponto e substituir na equação da função !
Vamos lá! Para o ponto , temos
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Assim, os pontos e são ponto de máximo, enquanto e são ponto de mínimo :)
Resposta
e são ponto de máximo, e e são ponto de mínimo.
Exercício Resolvido #3
Cálculo 2 USP, PSUB 2014, questão 4
Considere a função e a região . A função tem pontos de máximo e mínimo na região ? Caso afirmativo, encontre-os.
Passo 1
Função com restrição? Máximos e mínimos? Manda Lagrange!
A região de restrição tem duas funções, e , então vamos usar o determinante de :
Show?
Passo 2
Próximo passo, encontrar essas derivadas parciais! Vamos começar pela função ?
Passo 3
Para a função , temos:
Beleza! Vamos ver agora as derivadas da função !
E é isso aí ;)
Passo 4
Vamos colocar os valores das derivadas no determinante. Ele vai ficar:
Desenvolvendo o determinante, teremos:
Ajeitando essa equação, fica:
Podemos dividir tudo por né?
E, colocando em evidência,
E é isso aí, melhor não deve dar pra fazer XD A dica é: sempre, no final, dê um jeito de colocar as coisas como produto! A questão é feita pra isso acontecer, pois facilita muito!
Passo 5
Vamos montar um sistema, então com a equação que acabamos de encontrar e as equações da restrição?
Pela primeira equação, temos que, ou , ou , certo? No caso de , teremos, na segunda equação,
Colocando esse resultado na terceira equação, colocando também, teremos:
Abrindo o produto notável, teremos:
Que fica:
E, assim, ou , ou , certo? Como tínhamos que , então, se , , e, se , .
Logo, para , temos os pontos:
Passo 6
Agora podemos testar a segunda hipótese de resolução para o sistema, que é o caso de . Colocando isso na segunda equação, teremos:
Colocando esse valor na terceira, teremos:
Ajeitando esses quadrados, teremos:
Juntando o com o , temos:
Dividindo tudo por , temos:
Multiplicando tudo por , temos:
Que é:
E, assim,
Colocando esse valor para , sabendo que e, temos que e .
Assim, os pontos que obtivemos são:
Passo 7
Agora que já temos todos os pontos candidatos, , podemos comparar os valores que assume em cada um!
Para ,
Para ,
Para ,
Para ,
Assim, e são pontos de mínimo, e é ponto de máximo.
Resposta
e são pontos de mínimo, e é ponto de máximo
Exercício Resolvido #4
Cálculo 2 USP, P3 2014, questão 2
Seja
- Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
- Determine os pontos de mínimo e de máximo de no conjunto
Passo 1
Para provar que existem máximos ou mínimos, independente da quantidade deles, tudo o que temos que fazer é calculá-los, nesse caso, usando multiplicadores de Lagrange, pois temos a restrição da esfera!
Assim essa restrição vai ser
Vamos resolver pelo método da matriz, que tal? Podemos dizer que
Pois os vetores gradiente de e são múltiplos um do outro.
Passo 2
Legal, agora temos que encontrar os vetores gradientes!
Para a função , temos:
Calculando as derivadas parciais,
E o vetor gradiente é:
Passo 3
Agora calcularemos o vetor gradiente da esfera:
Calculando as derivadas parciais, teremos:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais (coordenadas dos vetores gradientes), podemos resolver o sistema do Passo ! Veja como fica o determinante:
Desenvolvendo o determinante, teremos:
E agora igualando cada componente a , teremos:
E daí tiramos que:
Passo 5
Beleza, agora temos que ver quais são os possíveis valores de , e .
Da primeira equação, temos que ou ou devem ser iguais a . Para a segunda, ou ou devem ser iguais a . Ou seja, no caso de , qualquer par atende a qualquer uma das equações!
Colocando essa nossa conclusão na equação da restrição, teremos que:
E o valor de nesses pares será:
Como pela restrição ,
Ou seja, temos infinitos pontos nos quais a função vale .
Passo 6
Mas e no caso de ? Bom, se for assim, pela primeira equação, então deve valer , e pela segunda deve valer ! Então, . Colocando esse valor na restrição, teremos:
E aí está! deve ser !
Colocando esses valores na função , teremos:
E pronto, é só isso, acabamos de ver que para os pontos , o valor da função é . E enquanto isso, para os pontos ela assume valor .
Isso prova que ela tem infinitos pontos de máximo e apenas dois pontos de mínimo!
Passo 7
Note que agora temos uma segunda restrição, o plano . Assim, vamos aplicar Lagrange novamente, mas acrescentando essa outra restrição. É mais ou menos o que fizemos no item , mas agora o sistema fica sendo:
Onde
E, lembrando do item já sabemos que e que
Passo 8
Calculando agora o gradiente da função :
Sendo que suas derivada parciais são:
E o gradiente é
Passo 9
E repetimos o mesmo processo do item , vamos montar o determinante e igualar cada componente a . Colocando os valores das derivadas nele fica:
E o determinante fica:
Dessa vez, como não temos os unitários , não faz sentido igualar a uma vetor, mas sim ao escalar ! Parece tornar tudo mais difícil, né? De fato... mas tenha em mente que essa parada é metódica, então temos que conseguir tirar alguma relação conveniente daí.
Parece uma boa ideia juntar os termos iguais e cortar os que se anulam:
Beeem melhor, não? To falando… a parte difícil já passou :) Agora vamos dividir por e colocar o em evidência:
E pronto! Já consegue descobrir alguma relação entre , e ?
Passo 10
O que podemos concluir do passo anterior, é que para a equação valer , ou vale , ou vale ! Na primeira opção, colocando nas restrição, teremos:
Pela primeira equação, temos que . Se colocarmos esse valor na segunda, fica:
Cortando os e juntando os :
Dividindo por colocando o em evidência:
E pronto! Temos, dessa equação que ou , ou !
Passo 11
Para descobrir os valores de , basta colocar os valores de em uma das restrições. Como a primeira é menos chata (não tem nada ao quadrado), vamos escolher essa. Colocando na primeira restrição, teremos:
Colocando na primeira restrição, teremos:
Como quando , e quando , , ambas as conclusões tendo , formamos os pontos e !
Passo 12
Beleza, agora vamos voltar na conta do determinante. Tínhamos:
Então ainda vamos testar a opção, de . Se assumirmos isso, então podemos fazer que . Colocando essa relação das restrições, teremos:
Ou seja,
E da primeira equação temos que . Colocando esse valor na segunda equação, teremos:
Cortando os e juntando os , temos:
Colocando em evidência,
E daí tiramos que, ou , ou ;) Mesma coisa que no passo anterior!
Passo 13
Colocando esses dois valores que encontramos para na primeira equação da restrição temos, lembrando que estamos adotando , para :
E pronto... !
Colocando o segundo valor na primeira restrição, teremos:
Como agora temos os valores de para cada correspondente, formamos os pontos e .
Passo 14
E, finalmente agora que temos os pontos, podemos ver seus valores correspondentes para e definir quais são máximo e quais são mínimos! Lembrando que
Colocando o ponto , teremos:
Colocando o ponto , teremos:
Colocando o ponto , teremos:
Colocando o ponto , teremos:
E com isso, temos que e são pontos de máximo, enquanto é ponto de mínimo.
Resposta
a) Ponto de máximo: . Ponto de mínimo:
b) e são pontos de máximo, enquanto é ponto de mínimo.