11. Encontre o mínimo de f x , y , z = x + y + z na superfície de equação x y z = k Onde x0,y0,z0 Use o resultado para mostrar que x y z 1 / 3 ≤ 1 3 x + y + z x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0

Enunciado

Vamos precisar usar o método de Lagrange novamente. Entao vamos calcular os gradientes para formar nosso sistema com os multiplicadores

Agora nossa superficie S

Agora que temos tudo o que precisamos vamos cair dentro

Vamos manipular um pouco as três primeiras equações para poder deixar o lado direito igual a todas elas

Observando as três primeiras equações vemos que

Vamos usar isso na equação IV do nosso sistema

Logo podemos concluir que

Analisando que descobrimos os pontos de mínimo, podemos dizer que nossa função se comporta assim

Podemos usar a relação k em função de xyz para sumir com k

Com isso nossa desigualdade fica

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Ei, a resposta está no passo a passo :)