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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 11

11. Encontre o mínimo de f x , y , z = x + y + z na superfície de equação

x y z = k

Onde

x > 0   ,   y > 0   ,   z > 0  

Use o resultado para mostrar que

x y z 1 / 3 ≤ 1 3 x + y + z

x ≥ 0   ,   y ≥ 0   ,   z ≥ 0  

Passo 1

Vamos precisar usar o método de Lagrange novamente. Entao vamos calcular os gradientes para formar nosso sistema com os multiplicadores

f x , y , z = x + y + z

∇ f = 1,1 , 1

Agora nossa superficie S

S   :   x y z = k

∇ S = y z ,   x z   , x y

Passo 2

Agora que temos tudo o que precisamos vamos cair dentro

1 = y z λ

1 = x z λ

1 = x y λ

x y z = k

Vamos manipular um pouco as três primeiras equações para poder deixar o lado direito igual a todas elas

x = x y z λ

y = x y z λ

z = x y z λ

x y z = k

Observando as três primeiras equações vemos que

x = y = z

Vamos usar isso na equação IV do nosso sistema

x 3 = k

x = k 1 / 3

Logo podemos concluir que

x = y = z = k 1 / 3

Passo 3

Analisando que descobrimos os pontos de mínimo, podemos dizer que nossa função se comporta assim

x 0 + y 0 + z 0   ≤ x + y + z

3 k 1 / 3   ≤ x + y + z

Podemos usar a relação k em função de xyz para sumir com k

x y z = k

Com isso nossa desigualdade fica

3 x y z 1 / 3   ≤ x + y + z

x y z 1 / 3 ≤ 1 3 x + y + z

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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