12. a) A função

f(x, y, z) = ln(x) + ln(y) + 3 * ln(z)

Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação

x^2 + y^2 + z^2 = 5 * a^2

Onde x > 0, y > 0, z > 0 e a é uma constante positiva. Encontre-o

b) Usando o resultado a) , mostre que

x^2 * y^2 * z^6 ≤ 27; ( (x^2 + y^2 + z^2) / 5 )^5

x > 0, y > 0, z > 0

Passo 1

Oii, essa é uma das funções que são rapidinhas. Basta montar o sistema de lagrange e cair dentro. Vamos encontrar os gradientes das nossas funções para montar o sistema do método de Lagrange

∇ f = 1 x , 1 y   , 3 z  

Agora é só achar o gradiente da superfície S

∇ S = 2 x , 2 y , 2 z

Vamos montar o sistema

λ x = 2 x

λ y = 2 y

3 λ z = 2 z

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

Podemos mexer um pouco nesse sistema tendo o seguinte resultado

λ = 2 x 2

λ = 2 y 2

3 λ = 2 z 2

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

Pela relação entre as equações I , II e III podemos afirmar que

x 2 = y 2 = z 2 3

Vamos usar isso na equação da superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

x 2 + x 2 + 3 x 2 = 5 a 2

5 x 2 = 5 a 2

x = a

então podemos também afirmar que

y = a

z = 3 a

Passo 2

Nossa função fica então com o seguinte valor

f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z  

f x , y , z = ln ⁡ x y z 3  

Agora substituindo os valores encontramos

f x , y , z = ln ⁡ 3 3 a 5  

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

f a , a , 3 a = ln ⁡ 3 3 a 5  

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