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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 12a

12. a) A função

f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z  

Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

Onde x > 0 ,   y > 0   ,   z > 0   e a é uma constante positiva. Encontre-o

b) Usando o resultado a) , mostre que

x 2 y 2 z 6 ≤ 27   x 2 + y 2 + z 2 5 5

x > 0 ,   y > 0   ,   z > 0

Passo 1

Oii, essa é uma das funções que são rapidinhas. Basta montar o sistema de lagrange e cair dentro. Vamos encontrar os gradientes das nossas funções para montar o sistema do método de Lagrange

∇ f = 1 x , 1 y   , 3 z  

Agora é só achar o gradiente da superfície S

∇ S = 2 x , 2 y , 2 z

Vamos montar o sistema

λ x = 2 x

λ y = 2 y

3 λ z = 2 z

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

Podemos mexer um pouco nesse sistema tendo o seguinte resultado

λ = 2 x 2

λ = 2 y 2

3 λ = 2 z 2

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

Pela relação entre as equações I , II e III podemos afirmar que

x 2 = y 2 = z 2 3

Vamos usar isso na equação da superfície

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

x 2 + x 2 + 3 x 2 = 5 a 2

5 x 2 = 5 a 2

x = a

então podemos também afirmar que

y = a

z = 3 a

Passo 2

Nossa função fica então com o seguinte valor

f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z  

f x , y , z = ln ⁡ x y z 3  

Agora substituindo os valores encontramos

f x , y , z = ln ⁡ 3 3 a 5  

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

f a , a , 3 a = ln ⁡ 3 3 a 5  

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13. Encontre o valor máximo de f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 , sujeita as restrições g x , y , z = 2 x - y + z = 0 e h x , y , z = x 2 + y 2 + 3 z 2 = 30 .
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