Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 10
10. Determine a equação do plano que passa por e determina com os planos coordenadas um tetraedro de volume maximo
Passo 1
Oii, no enunciado nos diz que queremos um volume máximo. Isso te faz pensar em algo? Sim ! teremos que derivar uma função de volume. Podemos escrever que nosso tetraedro tem o seguinte volume
Agora precisamos achar a equação do plano que passa por . Podemos escrever uma equação genérica
E como esse ponto pertence a esse plano podemos plotar ele no plano e descobrir uma relação entre os fatores
Show! Conseguimos eliminar uma variável. Nossa equação do plano se resume agora a
Passo 2
Vamos calcular agora os gradientes
Beleza! Com isso já conseguimos usar o método de Lagrange. Vamos montar o sistema
Podemos fazer o mesmo truque que o exercício 8, e deixar o lado direito das 3 primeiras equações iguais
Beleza. Faremos uma subtração agora. Equação I – Equação II
Agora mais uma manipulação. Equação II – Equação III
Com isso sabemos que
Vamos usar isso na equação IV do sistema
Analogamente podemos dizer que y e z são
Passo 3
Podemos usar o ponto para achar uma relação entre os nossos fatores
Com isso podemos dizer que
Entao nossa equação do plano fica
Agora basta achar d em função dos outros fatores. LA em cima achamos uma relação de d
Agora que sabemos como se comportam esses fatores, podemos dizer que
Por fim nossa equação do plano é
Podemos dividir tudo por b e finalizamos
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )