12. a) A função

f x , y , z = l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z  

Tem um máximo na porção da superfície esférica de equação

x 2 + y 2 + z 2 = 5 a 2

Onde x > 0 ,   y > 0   ,   z > 0   e a é uma constante positiva. Encontre-o

b) Usando o resultado a) , mostre que

x 2 y 2 z 6 ≤ 27   x 2 + y 2 + z 2 5 5

x > 0 ,   y > 0   ,   z > 0

Passo 1

No item anterior provamos que o maximo da função f é

f =   ln ⁡ 3 3 a 5

Logo podemos dizer que

l n x + ln ⁡ y + 3 ln ⁡ z ≤ ln ⁡ 3 3 a 5

Vamos então fazer umas manipulações agora

ln ⁡ x y z 3 ≤ ln ⁡ 3 3 a 5

x y z 3 ≤ 3 3 a 5

Vamos agora usar a equação da esfera para sumir com a

x y z 3 ≤ 3 3 x 2 + y 2 + z 2 5 5 / 2

x 2 y 2 z 6 ≤ 27   x 2 + y 2 + z 2 5 5

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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