Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) .Mostre que a reta encontrada no item b ) está contida no plano tangente ao gráfico da função z = f ( x , y ) em ( 1,3 , - 1 ) .

Enunciado

Bom galera, vamos precisar encontrar a função do plano tangente, pra isso a gente tem aquela formulinha:

Ou seja, é um produto escalar onde é um vetor normal á superficie, esse vetor também pode ser o vetor grádiente da superficie no ponto.

Belezinha, já temos o ponto que a questão deu, agora precisamos do vetor grádiente, pra isso a gente pega as derivada parciais e coloca em um vetor:

Por sorte a gente já tem todos esses valores na questão e encontramos também no item , então ficamos com:

Show de bola, agora podemos colocar tudo isso na formula do plano:

O produto escalar fica:

Isolamos o e fica:

E a gente testa o mesmo ponto que passou pela reta e vemos se a equação continua verdadeira:

E pronto, ela é verdadeira. 😊

Ei, a resposta está no passo a passo :)