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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 6c

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) .

Mostre que a reta encontrada no item b ) está contida no plano tangente ao gráfico da função z = f ( x , y ) em ( 1,3 , - 1 ) .

Passo 1

Bom galera, vamos precisar encontrar a função do plano tangente, pra isso a gente tem aquela formulinha:

P = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n →

Ou seja, é um produto escalar onde n → é um vetor normal á superficie, esse vetor também pode ser o vetor grádiente da superficie no ponto.

Passo 2

Belezinha, já temos o ponto que a questão deu, agora precisamos do vetor grádiente, pra isso a gente pega as derivada parciais e coloca em um vetor:

∇ f 1,3 = ∂ f ∂ x 1,3 , ∂ f ∂ y 1,3 ,   ∂ f ∂ z ( 1,3 )

Por sorte a gente já tem todos esses valores na questão e encontramos também no item b ) , então ficamos com:

∇ f 1,3 = ( 4 , - 3 , - 4 )

Passo 3

Show de bola, agora podemos colocar tudo isso na formula do plano:

P = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ⋅ n →

→ P = x - 1 , y - 3 , z + 1 ⋅ ( 4 , - 3 , - 4 )

O produto escalar fica:

P = 4 x - 4 + - 3 y + 9 + ( - 4 z - 4 )

= 4 x - 3 y - 4 z + 1

Isolamos o z e fica:

z = 4 x - 3 y + 1 4

E a gente testa o mesmo ponto que passou pela reta e vemos se a equação continua verdadeira: ( 1,3 , - 1 )

- 1 = 4 1 - 3 3 + 1 4

→ - 1 = - 4 4

E pronto, ela é verdadeira. 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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