Integrais Duplas sobre Regiões Gerais
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Introdução
Para as integrais simples, a região em que integramos é sempre um intervalo, certo? Seja da variável ou . Porém, quando temos duas variáveis, a história já é outra: nosso domínio pode ser diversos tipos de área. Bom você já viu como calcular integrais duplas sobre retângulos, mas e se quisermos integrar em uma região qualquer? Tem um teorema que nos permite fazer isso.
Imagine uma região fechada, representada na figura abaixo em verde. Ela sempre estará contida dentro de um retângulo maior , certo?
Vamos definir, então, uma função que seja assim:
Sendo assim, podemos dizer que é verdade que:
Pensa bem: nossa função tem valor nulo fora de , portanto, essa região "a mais" não acrescenta nada para a nossa Integral. Não é?
Agora, para calcularmos a integral nessa região, vamos separá-la em integrais simples:
Acontece que, quando nossa região não é um retângulo, não podemos descrevê-la apenas por intervalos de números , , e , pois ela não será limitada por retas, mas sim por funções, curvas como , por exemplo. Ok, e agora? O que fazer?
Sem problemas, digamos que varie entre dois números ( máximo e mínimo) e varie entre as funções e . Quando está fora desse intervalo temos , certo? Enquanto dentro, temos . Assim, podemos escrever a integral em como:
Em resumo, é isso aqui o que você precisa saber! Também podemos escrever como integrais iteradas as integrais duplas em regiões que não são retângulos, a diferença é que teremos funções nos limites de integração para uma das variáveis.
Mas porque apenas para uma das variáveis? Pensa bem, depois que nós resolvermos a integral de dentro, vai sobrar apenas uma integral simples, não é? E os limites de integração de uma integral simples são números! Como você já está cansado de ver. Vamos ver melhor como isso funciona daqui a pouco.
Tipos de regiões
Bom, você acabou de ver que, para integrarmos em regiões gerais, devemos ter uma variável limitada por constantes e a outra, por funções. Agora, é fundamental que você saiba como escrever a região de integração. Para entendermos isso melhor, vamos dividir as regiões em 2 tipos:
Regiões do Tipo I: são as regiões contínuas em , o que significa que precisamos apenas dos valores inicial e final dessa variável ( e ). Neste caso, o intervalo de integração de será dado por duas funções de ( e ). Descrevemos essas regiões assim:
Graficamente, uma região genérica desse tipo é assim:
Você pode pensar dessa forma: em cima e embaixo a região é limitada por funções (as curvas em azul), já na esquerda e na direita, por números (as retas tracejadas). Visualizou?
A integral sobre esse tipo de região é, então, escrita dessa forma (como já vimos):
Exemplo: Calcule , onde é a região entre a parábola e a reta .
Primeiramente, precisamos escrever matematicamente essa região.
Olhando para figura abaixo, vemos que varia entre e (onde a reta e a parábola se encontram), enquanto varia entre as duas funções. Logo, podemos escrever a região como:
Repara que é maior ou igual à função “de baixo” (em azul) e menor ou igual à “de cima” (em rosa).
Nossa integral passa a ser, então:
Nada demais, né? Beleza, vamos continuar.
Regiões do Tipo II: são o oposto das regiões do tipo I, portanto, contínuas em . Ou seja, em , temos um intervalo definido (números). Já em , a região é limitada por funções. Elas podem ser escritas assim:
O gráfico de uma região genérica desse tipo seria assim:
Se você reparar, na esquerda e na direita, a região é limitada por funções (as curvas em azul), já em cima e embaixo, por números (as retas tracejadas).
Com o mesmo raciocínio que usamos nas regiões do tipo I, concluímos que as integrais para as regiões do tipo II podem ser escritas assim:
Exemplo: Calcule , onde é a região entre a parábola e a reta .
Vamos começar tentando esboçar a região . Vamos fazer um esboço para entender melhor a questão. Observando a equação da parábola, vemos que o termo elevado ao quadrado é o , não o , como costumamos ver. Isso quer dizer que essa parábola está “virada de lado”, com eixo de simetria paralelo ao . Como o número que multiplica é positivo, ela está virada para a direita (onde é positivo). Vamos, então, ter algo parecido com isso
Observe que a interseção entre a reta e a parábola ocorre nos pontos Veja, também, que o é sempre maior ou igual a parábola (a esquerda) e menor ou igual a reta (a direita). Assim, podemos dizer que
OBS: Algumas regiões podem ser escritas tanto como tipo I como tipo II. Nesse caso, você decide a forma que achar mais simples ou melhor para a questão! Em ambos os exemplos podíamos ter optado tanto por tipo I quanto por tipo II.
Cálculo de Áreas
Imagina que queremos calcular a área de uma região . A gente já viu que essa bendita integral dupla representa um volume, certo? Então, mas de um jeito geral os volumes são dados por
Onde é a área da base e é a altura do sólido. Agora, se a nossa altura for 1, ou seja, , vamos ter que o volume coincide com a área da base! Assim, o truque para obter uma área é imaginar um sólido de altura 1 cuja base seja a área que queremos e ai o volume (integral dupla) vai coincidir com a área desejada, ou seja, é só fazer:
Cálculo de Massa
Às vezes a gente quer calcular a massa de uma chapa em forma de parábola, (sim, pessoas estranhas fazem isso). Para fazer isso, vamos precisar da densidade dessa placa que vamos representar por . Só fica atento a uma coisa: normalmente, a gente pensa em densidade como massa sobre o volume. Uma chapa fininha não tem volume, na verdade, essa densidade será massa/área
Onde é a massa da placa e a área da placa. Você já trabalhou muito com densidade em física, mas lá ela era um número constante. Aqui, ela pode variar de ponto a ponto da placa, ou seja, . Então, para calcular a massa de , podemos pensar num elemento bem pequenino (que tal um com área ?) e dizer que sua massa pequenina, , é:
Advinha o que faremos agora? Vamos somar a massa de cada pedacinho para obter a massa da placa toda
A integral acima se resolve da mesma forma que fizemos no exemplo, a diferença é que a função a ser integrada agora é
Beleza? Vamos ver uns exercícios agora!