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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 15.3 - Ex. 11

Calcule a integral dupla.

∬ D   y 2 e x y d A   ,                     D = x ,   y   0 ≤ y ≤ 4   ,   0 ≤ x ≤ y }

Passo 1

E ai galerinha, tudo na paz!? Bora lá!

Bom, veja que o enunciado nos forneceu uma integral dupla com limites de integração na região D e precisamos determinar o valor dessa integral.

∬ D   y 2 e x y d A  

D = x ,   y   0 ≤ y ≤ 4   ,   0 ≤ x ≤ y }

Como fazemos isso? Vamos pensar juntos, beleza!?

Primeira etapa é montar a integral na ordem correta de integração. Importante lembrar, que sempre começamos a integrar de dentro para fora, e começamos por funções. Como assim?

Observando a expressão, e perceba que precisamos primeiro integrar em d x . Porque? O x varia de 0 até uma função y . Por último, integramos em d y   e novamente aplicamos os limites de integração.

Logo, temos a seguinte integral:

∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y   d x   d y

Agora ficou fácil ein, vamos começar!?

Passo 2

Galera, primeiro vamos relembrar a integral dupla

∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y   d x   d y

Vamos começar resolvendo de dentro pra fora.

∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y   d x d y

Assim, integrando primeiro em d x :

∫ 0 4 y e x y 0 y   d y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 4 y e y 2 - y e 0   d y

Temos,

∫ 0 4 ( y e y 2 - y )   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral em d y .

∫ 0 4 y e y 2 - y d y

= e y 2 2 - y 2 2 0 4

Aplicando os limites, temos:

= 1 2 e 16 - 16 - e 0 + 0

Logo, a resposta para a integral é:

∫ 0 4 ∫ 0 y y 2 e x y   d x   d y = e 16 - 17 2

Resposta

e 16 - 17 2

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9. Calcular ∬_R^() ( x^2 + y^2 ) d x d y , onde R é a região delimitada por y = sqrt(x) e x = 4 e y = 0 .