Limite Trigonométrico Fundamental

Temos uma indeterminação do tipo :

Vamos abrir essa tangente em seno sobre cosseno:

Agora é só separar as exponenciais e o cosseno da jogada:

O primeiro vai embora pelo limite fundamental trigonométrico. Já o segundo pode ser substituído de primeira sem indeterminação:

Substituindo teremos indeterminação:

Olha, para esse cara, a princípio, não temos nenhum limite fundamental que possamos aplicar. Agora, tem ali um no denominador e funções trigonométricas que me parece dar a entender que podemos achar um seno a partir desse do numerador.

Então, é o seguinte, vamos lembrar de uma relação da trigonometria:

Po, repara, o numerador do meu limite pode ser multiplicado pelo conjugado dele, ou seja, , para gerar essa relação e ter tudo em função da tangente:

Então multiplicamos esse cara por cima e por baixo da função, para manter a igualdade:

Bom, escrevendo a tangente em função de seno e de cosseno, olha o que teríamos:

Repara, no primeiro termo temos o limite fundamental trigonométrico! No segundo só existem termos que podemos substituir de primeira, lembrando que :

Substituindo:

Eu não faria ideia de como começar essa questão, não fosse essa diferença de raízes quadradas, que me faz lembrar daquela relação de produtos notáveis:

Onde o meu seria a primeira raiz, a segunda e o que eu tenho ali é um . Vou multiplicar em cima e embaixo por :

Gente, agora basta pegar um desses do no denominador e dividir a tangente e o seno, abrindo ainda a tangente como seno sobre cosseno:

Agora, no primeiro termo do primeiro limite fundamental trigonométrico que apareceu ali temos que abrí-lo pela relação trigonométrica que diz que em cima e embaixo para poder substitituí-lo:

Agora nós podemos Substituir os limites fundamentais trigonométricos por e os valores que não geraram indeterminações. Você vai ver que o único problema é naquele no denominador e o último termo do limite:

Repara que para com indo a nós vamos tender lateralmente pelos dois lados a ! Então sua tendência é para .

Substituindo:

Raciocina comigo: temos ali uma diferença de termos ao cubo, no numerador. Ao cubo? Sim, ao cubo, por que aquele pode ser escrito como . Ora, uma diferença de termos ao cubo pode ser aberta pelo seguinte produto notável:

Nesse caso, o nosso será e .

Agora, aquele termo ali pode ser multiplicado por e através do seguinte produto notável:

Podemos abrir esse cara como:

E talvez você não lembre, mas pela relação fundamental da trigonometria temos o seguinte:

Então é isso, vamos multiplicar o termo no denominador e no numerador por .

Agora a questão é só de simplificar os termos:

Repara que cortando o seno ao quadrado com o seno ao cubo surgiu ali um limite fundamental trigonométrico, com aquele do numerador. Agora é só substituir os valores desse limite e de :

Substituindo ficamos com um :

Essa questão depende apenas do encaixe do limite fundamental trigonométrico. Temos um termo dentro do argumento do seno para qual quando vai a . Afinal, . Chamando , teremos na nossa substituição:

Basicamente, é como se tivéssemos o seguinte acontecendo:

OK, dado que esse é o limite fundamental (para ), sabemos o resultado final:

Se eu substituir caímos numa indeterminação de :

A ideia aqui, então, é forçar aparecer o termo dentro do seno, que está zerando, embaixo dele próprio. No caso, o . Temos ali um seno ao cubo, então vou multiplicar em cima e embaixo por :

Vou separar os limites fundamentais do resto:

Para resolver o primeiro limite precisamos de uma substituição . Nesse caso,

Substituímos o Limite Fundamental Trigonométrico no primeiro termo e o no segundo:

Substituindo:

Seguinte, vamos começar abrindo todos esses termos do segundo grau:

O que ficaria mais ou menos assim:

Cara, repara que aquele seno está indo para e que o logo embaixo dele também vai a . Poxa, se o termo dentro do seno fosse igual ao que ele está sendo dividido, poderíamos usar o Limite Fundamental, não é?

Para chegar nisso então, vamos multiplicar o termo em cima e embaixo por :

Ali no denominador, o para debaixo do seno e tiro um dos .

Separamos o limite todo em dois:

Para o primeiro, vamos fazer que

o que gera:

Quando . Assim:

Com isso, basta analisar o outro limite e teremos o nosso resultado:

Vemos que, por zerar o denominador, o limite terá tendências diferentes dependendo de qual lado nos aproximamos. De qualquer jeito, ele não existirá, pois explode para mais ou menos infinito.