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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 10a

10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em 3,4 é de 100 graus. Suponha que os eixos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P 0 = 2,2 .

a) Se o objeto se mover para o nordeste, ele aquecerá ou esfriará? E Para sudeste? Justifique.

Passo 1

Antes de começar a calcular, vamos ter uma idéia de qual seria a expressão de nossa função f . Como o enunciado nos diz que a temperatura é inversamente proporcional à distância, temos que f P = k P = k x 2 + y 2 . Como sabemos que em P = 3,4   f P = 100 , temos que k x 2 + y 2 = k 9 + 16 = k 5 = 100 → k = 500

Agora vamos ver o que significa ir ao nordeste. Como o sistema de coordenadas é semelhante a uma roda dos ventos, apontar a nordeste é ter 45 º e isso nos daria um vetor da forma v = a , a ,   a > 0 . Como queremos v unitário, tomamos a = 1 2 , daí temos que nosso vetor direcional será v n = ( 1 2 , 1 2 ) . Semelhantemente, se formos para sudeste teriamos v s = ( 1 2 , - 1 2 ) .

Agora vamos calcular a derivada direcional na direção de v n = ( 1 2 , 1 2 ) : ∂ f ∂ σ ' P = ∇ f P . v = - 500 x ( x 2 + y 2 ) 3 , - 500 y ( x 2 + y 2 ) 3 . 1 2 , 1 2 = - 500 x + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3

Calculando em P = 2,2 temos:

∂ f ∂ σ ' ( 2,2 ) = - 500 2 + 2 2 ( 2 2 + 2 2 ) 3 = - 2000 2 . 8 3 = - 2000 2.512 = - 2000 16 2 = - 125 2

Isso nos diz que a nordeste esfriará.

O cálculo para a derivada na direção de v s = ( 1 2 , - 1 2 ) . é análogo:

∂ f ∂ σ ' P = ∇ f P . v = - 500 x ( x 2 + y 2 ) 3 , - 500 y ( x 2 + y 2 ) 3 . 1 2 , - 1 2 = 500 y - x 2 ( x 2 + y 2 ) 3

Calculando em P = 2,2 temos:

∂ f ∂ σ ' ( 2,2 ) = 500 2 - 2 2 ( 2 2 + 2 2 ) 3 = - 0 2 8 3 = 0

Isso nos diz que nada acontece quando o objeto vai em direção do suldeste.

Resposta

Na direção de v n = - 125 2 , isto é, ele esfria. E na direção de v s = 0 , isto é, nada acontece.

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