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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 11a

11. As superfícies de equações:

F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3 = 0   e   G x , y , z = x 2 + 2 x + y 2 - 4 = 0

têm como interseção uma curva C que passa pelo ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) .

a) Encontre as taxas de variação de F e G na direção do vetor tangente a C em P 0 .

Passo 1

Antes de começar a fazer contas, vamos encontrar a curva C que resulta da interseção entre F   e   G . Para encontrar a interseção, devemos igualar as curvas. Desta forma: x 2 + y 2 + z 2 - 3 = x 2 + 2 x + y 2 - 4 ↔ z 2 + 1 = 2 x

Como ela passa pelo ponto P 0 = ( 1,1 , 1 ) , temos que esta curva está contida no plano y = 1 .

Agora vamos encontrar um vetor tangente a C em P 0 .

Para isso, precisamos parametrizar a curva e depois derivá-la.

Como já sabemos que y = 1 , vamos apenas por x em função de z e trocar por algum parâmetro.

2 x - z 2 = 1 ↔ x = 1 + z 2 2

Agora fazendo z = t , temos que nossa curva parametrizada será: C t = ( 1 + t 2 2 , 1 , t )

Agora para encontrar o vetor tangente, vamos derivar:

C t = 1 + t 2 2 , 1 , t → C ' t = t , 0,1 .

Para obtermos o ponto P 0 = 1 , 1,1 precisamos fazer t = 1 , desta forma o vetor tangente é v = ( 1,0 , 1 ) .

Agora que temos o vetor tangente, basta calcular a derivada direcional na direção de v para ambas as funções.Vamos começar calculando para F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

∂ F ∂ v = ∇ F P 0   . v v = 2 x , 2 y , 2 z   .   1 2 , 0 , 1 2 = 2 x 2 + 0 + 2 z 2 = 4 2 = 2 2

Calcular para G x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 3

∂ G ∂ v = ∇ G P 0   . v v = 2 x + 2,2 y , 0   .   1 2 , 0 , 1 2 = 2 x + 2 2 + 0 + 0 = 4 2 = 2 2

Resposta

Para F   e   G , temos 2 2 .

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