11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

16. f(x, y, z) = y^2 * arctan(z), 2, 1, 1, v = 〈1, 1, 1〉

Passo 1

Então meu amigo, dada a função:

f x ,   y ,   z = x y 2 arctan ⁡ z

Precisamos encontrar sua derivada direcional no ponto dado em direção a:

v = 1 ,   1 ,   1

Então galera, para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f ⋅ u

No qual u é o vetor unitário na direção de v . No nosso caso as variáveis são um pouco diferentes, mas o raciocínio é literalmente o mesmo, tudo bem? No nosso caso, temos:

∇ h = ∂ h ∂ r i + ∂ h ∂ s j + ∂ h ∂ t k

Para o vetor u precisaremos tornar o vetor v em um vetor unitário, iremos fazer isso dividindo-o pelo seu modulo.

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

∇ f = y 2 arctan ⁡ z i + 2 x y . a r c tan ⁡ z j + x y 2 1 + z 2 k

∇ f 2 ,   1 ,   1 = π 4 i + 2.2 . π 4 j + 2 1 + 1 k

∇ f 2 ,   1 ,   1 = π 4 i + π j + k

Descobrindo u :

u = v v = i + j + k 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 3 1 + j + k

Sendo assim, nossa derivada direcional será:

D u f 2 ,   1 ,   1 = ∇ f 2 ,   1 ,   1 . u

D u f 2 ,   1 ,   1 = π 4 i + π j + k . 1 3 1 + j + k = 1 3 π 4 + π + 1

∴ D u f 2 ,   1 ,   1 = 5 π + 4 4 3

Resposta

D u f 2 ,   1 ,   1 = 5 π + 4 4 3

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