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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 9

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,   x = s ⋅ s e n   t , y = t ⋅ cos ⁡ s

Passo 1

Vamos para mais uma resolução meu brother!

Dada a função:

z = ln ⁡ 3 x + 2 y

A gente quer encontrar :

∂ z ∂ s   ; ∂ z ∂ t

Sendo que:

x = s ⋅ s e n   t   ; y = t ⋅ cos ⁡ s

Para encontrarmos ∂ z ∂ s e   ∂ z ∂ t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

As derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s são:

Primeiro iremos calcular z x .

Para isso deveremos utilizar a regra da cadeia:

z = ln ⁡ 3 x + 2 y

Veja que:

ln ⁡ x ' = 1 x

Como temos uma composição de funções, é necessário então utilizar a regra da cadeia:

∂ z ∂ x = ∂ ln ⁡ g x ∂ x ⋅ ∂ 3 x + 2 y ∂ x

Teremos então:

∂ z ∂ x = 3 3 x + 2 y

Agora iremos encontrar x s :

x = s ⋅ s e n   t

Temos então que:

∂ x ∂ s = s e n   t

Agora é hora de encontrarmos z y também com a regra da cadeia:

z = ln ⁡ 3 x + 2 y

∂ z ∂ y = 2 3 x + 2 y

Passo 3

Agora a gente vai calcular y s :

y = t ⋅ cos ⁡ s

Derivando em relação a s e considerando t constante:

∂ y ∂ s = - t ⋅ s e n   s

Agora iremos calcular x t :

x = s ⋅ s e n   t

Derivando em relação a t agora, e deixando s como constante:

∂ x ∂ t = s ⋅ cos ⁡ t

E por ultimo iremos calcular:

y = t ⋅ cos ⁡ s

Derivando em relação a t e deixando s como constante:

∂ y ∂ t = cos ⁡ s

Passo 4

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1, obteremos:

Para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

A gente precisa só substituir:

∂ z ∂ s = 3 3 x + 2 y ⋅ s e n   t - 2 3 x + 2 y ⋅ t ⋅ s e n   s

Temos então:

∂ z ∂ s = 1 3 x + 2 y 3 s e n   t - 2 t . s e n   s

Para ∂ z �� t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Substituindo:

∂ z ∂ t = 3 3 x + 2 y �� s ⋅ cos ⁡ t + 2 3 x + 2 y ⋅ cos ⁡ s

∂ z ∂ t = 1 3 x + 2 y ( 3 s ⋅ cos ⁡ t + 2 cos ⁡ s )

Resposta

∂ z ∂ s = 1 3 x + 2 y 3 s e n   t - 2 t . s e n   s

∂ z ∂ t = 1 3 x + 2 y ( 3 s . cos ⁡ t + 2 cos ⁡ s )

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Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = a r c t g x y , x = 2 t , y = 3 t
Dada a funcao f (x , y) = (x)/(y) + e^(x y) , com x (t) = (1)/(t) e y (t) = sqrt(t) , encontrar (d h)/(d t) onde h (t) = f (x (t) , y (t)) .
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = e^x (c o s x + c o s y) , x = t^3 , y = t^2
Determinar (d z)/(d t) , usando a regra da cadeia z = x c o s y , x = s e n t , y = t
Calcule (del z)/(del u) e (del z)/(del v) usando a regra da cadeia:z = x^2 y , x = (u)/(v) , y = u * e^v