11. As superfícies de equações:

F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 e G(x, y, z) = x^2 + 2x + y^2 - 4 = 0

têm como interseção uma curva C que passa pelo ponto P0 = (1,1,1) .

b) Encontre a direção na qual a taxa de variação de G em P₀ é máxima. Qual é essa taxa?

Passo 1

O vetor gradiente é o vetor que aponta da direção onde a função cresce mais rapidamente, isto é, aponta na direção onde a função obtém maior crescimento. Desta forma, precisamos apenas calcular o vetor gradiente de G .

∇ G = ( 2 x + 2,2 y , 0 )

Agora apenas calculamos em P 0 = 1.1 . 1 . Daí temos:

v = ( 4,2 , 0 ) = 2 . ( 2,1 , 0 )

*Vamos excluir o escalar e utilizar v = ( 2,1 , 0 ) para facilitar as contas.

Agora para encontrar a taxa de variação máxima, vamos calcular a derivada direcional na direção de v = 2 , 1,0 :

∂ F ∂ v = ∇ F P 0   . v v = 2.1 + 2,2.1,0   . 2,1 , 0 5 = 1 5 8 + 2 = 10 5 = 10 5 5 = 2 5

Resposta

Na direção de v = ( 2,1 , 0 ) e a taxa máxima é 2 √ 5 .

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