Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 10b
10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em é de 100 graus. Suponha que os eixos e apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto
b) Se o objeto se mover na direção do vetor , ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?.
Passo 1
Como sabemos que sua temperatura é inversamente propocional, temos que quanto maior a distância, menor é a temperatura. Como andar em direção a nos aproxima da origem, temos que a distância diminui, logo a temperatura aumenta(mas após um periodo de tempo ocorre o contrário, pois assim que o objeto chega ao ponto a distância começa a aumentar ao invés de diminuir).
Para saber sobre a taxa de mudança de temperatura, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor , mas antes vamos normalizá-lo divindo cada cordenada pela sua norma que é , daí temos:
Calculando em temos:
Resposta
, logo o objeto aquecerá.