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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 10b

10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em 3,4 é de 100 graus. Suponha que os eixos 0 x e 0 y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P 0 = 2,2 .

b) Se o objeto se mover na direção do vetor ( - 1 , - 1 ) , ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?.

Passo 1

Como sabemos que sua temperatura é inversamente propocional, temos que quanto maior a distância, menor é a temperatura. Como andar em direção a - 1 , - 1 nos aproxima da origem, temos que a distância diminui, logo a temperatura aumenta(mas após um periodo de tempo ocorre o contrário, pois assim que o objeto chega ao ponto P = - 1 2 , 1 2 a distância começa a aumentar ao invés de diminuir).

Para saber sobre a taxa de mudança de temperatura, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor v = ( - 1 , - 1 ) , mas antes vamos normalizá-lo divindo cada cordenada pela sua norma que é 2 , daí temos:

∂ f ∂ σ ' P = ∇ f P . v = - 500 x ( x 2 + y 2 ) 3 , - 500 y ( x 2 + y 2 ) 3 . - 1 4 , - 1 4 = 500 x + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3

Calculando em P = 2,2 temos:

∂ f ∂ σ ' ( 2,2 ) = 500 2 + 2 2 ( 2 2 + 2 2 ) 3 = 2000 2 8 3 = 2000 2 512 = 1 000 16 √ 2 = 125 2 √ 2

Resposta

125 2 √ 2 , logo o objeto aquecerá.

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Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = e xs e ny , 0 , π 3 ,v → = ( - 6 ,8 )
a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = s e n2 x + 3 y , P - 6 ,4 ,u → = 1 2 3 ,- 1
Onde a reta normal ao paraboloide z = x 2 + y 2 no ponto ( 1 ,1 ,2 ) intercepta o paraboloide uma segunda vez?
Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = x 3 y 4 - x 4 y 3 , 1 ,1 ,θ = π / 6
a) Determine o gradiente de f .b) Calcule o gradiente de no ponto P .c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u → . f x , y = y 2 x , P 1 ,2 ,u → = 1 3 2 ,5