10. Uma chapa de metal aquecida está situada no plano x y de tal modo que a temperatura é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (3,4) é de 100 graus. Suponha que os eixos 0 * x e 0y apontam, respectivamente, para leste e norte. Um objeto se encontra no ponto P₀ = 2,2

b) Se o objeto se mover na direção do vetor (-1, -1) , ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?.

Passo 1

Como sabemos que sua temperatura é inversamente propocional, temos que quanto maior a distância, menor é a temperatura. Como andar em direção a - 1 , - 1 nos aproxima da origem, temos que a distância diminui, logo a temperatura aumenta(mas após um periodo de tempo ocorre o contrário, pois assim que o objeto chega ao ponto P = - 1 2 , 1 2 a distância começa a aumentar ao invés de diminuir).

Para saber sobre a taxa de mudança de temperatura, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor v = ( - 1 , - 1 ) , mas antes vamos normalizá-lo divindo cada cordenada pela sua norma que é 2 , daí temos:

∂ f ∂ σ ' P = ∇ f P . v = - 500 x ( x 2 + y 2 ) 3 , - 500 y ( x 2 + y 2 ) 3 . - 1 4 , - 1 4 = 500 x + y 2 ( x 2 + y 2 ) 3

Calculando em P = 2,2 temos:

∂ f ∂ σ ' ( 2,2 ) = 500 2 + 2 2 ( 2 2 + 2 2 ) 3 = 2000 2 8 3 = 2000 2 512 = 1 000 16 √ 2 = 125 2 √ 2

Resposta

125 2 √ 2 , logo o objeto aquecerá.

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