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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 15

11-17. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v .

15. f x ,   y ,   z = x 2 y + y 2 z ,   1 ,   2 ,   3 ,   v = 2 ,   - 1 ,   2

Passo 1

Então galera, nessa questão nós temos a função f x ,   y ,   z = x 2 y + y 2 z e queremos determinar a derivada dela na direção do vetor v = 2 ,   - 1 ,   2 no ponto 1,2 , 3 .

Para determinarmos a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v , segundo o Stewart na seção 14.6 precisamos fazer:

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k

Que é o gradiente de f . Em seguida:

D u f = ∇ f ⋅ u

Onde u é o vetor unitário na direção de v .

Portanto, vamos calcular primeiro o gradiente da função f e depois o vetor unitário u .   Com isso, determinaremos a derivada direcional da função no ponto 1,2 , 3 .

Passo 2

Descobrindo nosso gradiente:

Derivando a função f x ,   y ,   z = x 2 y + y 2 z     com relação a x , obtemos:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 y + y 2 z

∂ f ∂ x = 2 x y

Agora a derivando com relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ z x 2 y + y 2 z

∂ f ∂ y = x 2 + 2 y z

Derivando com relação a z :

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x 2 y + y 2 z

∂ f ∂ z = x 2 y + y 2

Dessa forma, o gradiente se escreve como:

∇ f = 2 x y i + x 2 + 2 y z j + y 2 k

No ponto 1,2 , 3 ,   temos:

∇ f 1 ,   2 ,   3 = 2.1 . 2 i + 1 2 + 2.2 . 3 j + 2 2 k

∇ f 1 ,   2 ,   3 = 4 i + 13 j + 4 k

Passo 3

O vetor unitário u na direção de v é basicamente o vetor v dividido pelo seu módulo, isto é,

u = v v = 2 i - j + 2 k 2 2 + - 1 2 + 2 ² = 1 3 2 i - j + 2 k

Passo 4

Sendo assim, nossa derivada direcional no ponto ( 1,2 , 3 ) será:

D u f 1 ,   2 ,   3 = ∇ f 1 ,   2 ,   3 . u

D u f 1 ,   2 ,   3 = 4 i + 13 j + 4 k . 1 3 2 i - j + 2 k = 1 3 ( 8 - 13 + 8 )

∴ D u f 1 ,   2 ,   3 = 1

Resposta

D u f 1 ,   2 ,   3 = 1

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Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:4- f x ,y ,z = s e nx y + cos ⁡( y z ) , P 0 = 1,0 ,- 1 ,u = ( - 1 ,2 ,2 )
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7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:a)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor 1 ,1 .
9-Considerando as superfícies: S 1 de equação x 2 + y ~ 2 + z - 2 2 = 4 , 2 ≤ z ≤ 4 , S 2 de equação z = 3 - x 2 2 - y 2 4 , 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 12 e S 3 de equação z = - 6 + 3 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 12