Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 7
7. Se , mostre que
Passo 1
Quando temos questões que envolvem derivadas de ordem superior, a primeira coisa a se fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem, desta forma temos:
Uma coisa que pode facilitar nosso trabalho é notar que aparece mais de uma vez, pois e . Sendo assim, vamos logo calcular
Agora para finalizar o cálculo das derivadas, vamos apenas derivar essa ultima expressão em relação a e a :
Agora vamos substituir na expressão para ver se a identidade é verdadeira:
Resposta
Identidade verificada acima.
Exercícios de Livros Relacionados
Verifique que a função u = 1 / x 2 + y 2 + z 2 é uma solução da equação de Laplace tridimensional u x x + u y y + u z z = 0 .
Verifique que a função z = ln e x + e y é uma solução das equações diferenciais ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 1 e ∂ 2 z ∂ x 2 ∙ ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 = 0 ⏟ * * * *** Em algumas edições do livro do Ste
Se u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n , onde a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 = 1 , mostre que ∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u
Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função u x , t = f x + a t + g x - a t é solução da equação de onda dada no exercício 74.
Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.