7. Se f(x, y) = x * e^(x/y) , mostre que x \* (∂^3f/∂x^3) + y \* (∂^3f/∂y∂x^2) = 0

Passo 1

Quando temos questões que envolvem derivadas de ordem superior, a primeira coisa a se fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem, desta forma temos:

∂ ∂ x x e x y = 1 y e x y + 1 y x e x y = e x y y ( x + 1 )

∂ ∂ y x e x y = x e x y . - 1 y 2 = - x e x y y 2

Uma coisa que pode facilitar nosso trabalho é notar que ∂ 2 ∂ x 2 x e x y aparece mais de uma vez, pois ∂ 3 f ∂ x 3 = ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x 2 e ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ x 2 . Sendo assim, vamos logo calcular ∂ 2 ∂ x 2 x e x y :

∂ 2 ∂ x 2 x e x y = ∂ ∂ x ∂ x e x y ∂ x = ∂ ∂ x e x y y ( x + 1 ) = 1 e x y + 1 e x y + x e x y = e x y y ( 2 + x )

Agora para finalizar o cálculo das derivadas, vamos apenas derivar essa ultima expressão em relação a x e a y :

∂ 3 f ∂ x 3 = ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x e x y ( 2 + x ) = e x y 2 + x + e x y . 1

∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = ∂ ∂ y ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ y e x y ( 2 + x ) = - x e x y 2 + x y 2

Agora vamos substituir na expressão para ver se a identidade é verdadeira:

x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = x y . e x y 2 + x + e x y . 1 + y . - x e x y 2 + x y 2 = x y 2 e x y + x e x y - x y 2 e x y + x e x y = 0

Resposta

Identidade verificada acima.

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