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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 7

7. Se f (x , y) = x e^((x)/(y)) , mostre que x (del^3 f)/(del x^3) + y (del^3 f)/(del y del x^2) = 0

Passo 1

Quando temos questões que envolvem derivadas de ordem superior, a primeira coisa a se fazer é calcular as derivadas parciais de primeira ordem, desta forma temos:

(del)/(del x) (x e^((x)/(y))) = (1)/(y) e^((x)/(y)) + (1)/(y) x e^((x)/(y)) = (e^((x)/(y)))/(y) ( x + 1 )

(del)/(del y) (x e^((x)/(y))) = x e^((x)/(y)) . - (1)/(y^2) = - (x e^((x)/(y)))/(y^2)

Uma coisa que pode facilitar nosso trabalho é notar que (del^2)/(del x^2) (x e^((x)/(y))) aparece mais de uma vez, pois (del^3 f)/(del x^3) = (del)/(del x) ((del^2 f)/(del x^2)) e (del^3 f)/(del y del x^2) = (del)/(del y) ((del^2 f)/(del x^2)) . Sendo assim, vamos logo calcular (del^2)/(del x^2) (x e^((x)/(y))) :

(del^2)/(del x^2) (x e^((x)/(y))) = (del)/(del x) ((del x e^((x)/(y)))/(del x)) = (del)/(del x) ((e^((x)/(y)))/(y) ( x + 1 )) = 1 e^((x)/(y)) + 1 e^((x)/(y)) + x e^((x)/(y)) = (e^((x)/(y)))/(y) ( 2 + x )

Agora para finalizar o cálculo das derivadas, vamos apenas derivar essa ultima expressão em relação a x e a y :

(del^3 f)/(del x^3) = (del)/(del x) ((del^2 f)/(del x^2)) = (del)/(del x) (e^((x)/(y)) ( 2 + x )) = e^((x)/(y)) (2 + x) + e^((x)/(y)) . 1

(del^3 f)/(del y del x^2) = (del)/(del y) ((del^2 f)/(del x^2)) = (del)/(del y) (e^((x)/(y)) ( 2 + x )) = (- x e^((x)/(y)) (2 + x))/(y^2)

Agora vamos substituir na expressão para ver se a identidade é verdadeira:

x (del^3 f)/(del x^3) + y (del^3 f)/(del y del x^2) = ((x)/(y) . (e^((x)/(y)) (2 + x) + e^((x)/(y)) . 1)) + (y . (- x e^((x)/(y)) (2 + x))/(y^2)) = ((x)/(y) (2 e^((x)/(y)) + x e^((x)/(y)))) - ((x)/(y) (2 e^((x)/(y)) + x e^((x)/(y)))) = 0

Resposta

Identidade verificada acima.

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