Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 16
Em cada um dos problemas de 13 a 20, a matriz de coeficientes contém um parâmetro α. Em cada um desses problemas:
(a) Determine os autovalores em função de α.
(b) Encontre o valor ou valores críticos de α em que muda a natureza qualitativa do retrato de fase para o sistema.
(c) Desenhe retratos de fase para um valor de α ligeiramente menor, e para outro valor ligeiramente maior, do que cada valor crítico.
Passo 1
Encontrando os autovalores desse sistema:
Fazendo essa determinantes nós teremos:
Fazendo a equação do segundo grau:
Passo 2
Então teremos duas situações aqui, quando teremos um sistema com raízes reais e diferentes (porém sempre instável) e se temos um valor teremos um sistema oscilante e instável, pois a parte real é positiva e teremos complexos conjugados.
Então o limiar é
Em ambos os casos o sistema é instável.
Para
Agora para
Que é onde temos um autovalor instável
Agora para
Que aí os dois autovalores são instáveis.
