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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 5

15.5. Calcule a integral iterada.

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x s e n ⁡ y d y d x

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos lá!

Para resolver essa questão, precisamos calcular a integral iterada:

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x s e n ⁡ y d y d x

A integral iterada é uma forma de calcular integrais múltiplas, onde integramos sequencialmente uma variável de cada vez. No caso de funções que podem ser separadas em produtos de funções de variáveis independentes, como f x , y = g x h y , podemos simplificar o cálculo usando a propriedade:

∫ ∫ f x , y d y d x = ∫ g x d x ∫ h y d y

Isso facilita o processo, pois podemos resolver duas integrais simples em vez de uma integral dupla diretamente.

Passo 2

Na nossa questão temos:

g x = x e h y = sin ⁡ y

Então, vamos reescrever a integral que a gente quer resolver:

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x sin ⁡ y d x d y = ∫ 0 2 x   d x ∫ 0 π 2 sin ⁡ y d y

Fica bem mais fácil resolver assim.

Primeiro, vamos resolver a integral em relação a x :

∫ 0 2 x   d x

A integral de x é x 2 2 , então:

∫ 0 2 x   d x = x 2 2 0 2

Substituindo os limites

x 2 2 0 2 = 2 2 2 - 0 2 2 = 2

Passo 3

Agora resolvendo a integral em relação a y :

∫ 0 π 2 sin ⁡ y d y

Lembrando que a ∫ s e n y d y = - cos ⁡ y , obteremos:

∫ 0 π 2 sin ⁡ y d y = - cos ⁡ y 0 π 2

Agora substituindo os limites

- cos ⁡ y 0 π 2 = - cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0

= - ( 0 - 1 ) = 1

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os resultados das integrais separadas:

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x sin ⁡ y d x d y = ∫ 0 2 x   d x ∫ 0 π 2 sin ⁡ y d y

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x sin ⁡ y d x d y = 2 ⋅ 1 = 2

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x sin ⁡ y d x d y = 2

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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 4 - x - 2 y ) d xd y
Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico z = 4 + x 2 - y 2 e acima do quadrado R = - 1 ,1 × 0 ,2 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 2 - x 2 - y 2 ) d yd x
Encontre o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z = 2 + x 2 + y - 2 2 e pelos planos z = 1, x = 1, x = - 1, y = 0 e y = 4 .
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3 x + 2 y + z = 12 e acima do retângulo R = x ,y0 ≤ x ≤ 1,- 2 ≤ y ≤ 3 }