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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 40

14.40. Determine equações de (a) plano tangente e (b) reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.

x = y 2 + z 2 - 2

- 1,1 , 0

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Aqui a gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal a superfície:

x = y 2 + z 2 - 2

No ponto:

- 1,1 , 0

Para isso iremos utilizar duas equações.

Vamos começar relembrando a equação do plano tangente

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

E a equação da reta normal

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Em que x 0 , y 0 , z 0 é o ponto especificado. Veja que precisaremos calcular as derivadas parciais para a nossa função, vamos começar daí então.

Passo 2

  1. Primeiro vamos colocar a nossa equação em formato de função:

    F x , y , z = x - y 2 - z 2 + 2

    Agora iremos atrás das derivadas parciais:

    F x = ∂ ∂ x x - y 2 - z 2 + 2

    F x = 1

    Para as outras derivadas o processo se repete:

    F y = ∂ ∂ y x - y 2 - z 2 + 2

    F y = - 2 y

    E por último:

    F z = ∂ ∂ z x - y 2 - z 2 + 2

    F z = - 2 z

    Passo 3

    Agora a gente pode partir para montar a equação do plano:

    F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

    Substituindo o que encontramos e o ponto dado:

    1 ⋅ x - - 1 - 2 ⋅ 1 ⋅ y - 1 - 2 ⋅ 0 ⋅ z - 0 = 0

    x + 1 - 2 y + 2 - 0 = 0

    x - 2 y + 2 = 0

    Passo 4

  2. O processo agora é semelhante, já encontramos o que precisávamos, agora precisamos apenas utilizar da formula dada:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Com o ponto:

- 1,1 , 0

x + 1 1 = y - 1 - 2

Temos então que:

2 x + y + 1 = 0

E

z = 0

Resposta

a   - x + 2 y = 3 b x + 1 - 1 = y - 1 2

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