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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.Revisão - Ex. 45

Determine a derivada direcional de f no ponto dado na direção

indicada.

f   x ,   y = x 2 e - y   ,   ( - 2 ,   0 ) ,   na direção do ponto   ( 2 ,   - 3 )

Passo 1

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje, meu querido amigo.

A derivada direcional de uma função é o produto escalar do vetor gradiente de f no ponto com o vetor direcional unitário. Ela é dada pela relação:

D u f x , y , = ∇ f x , y ⋅ u →

∇ f é o vetor gradiente, e é dado por:

∇ f = f x , f y

Em que f x e f y são as derivadas parciais da função. Já:

u → = v → | v |

É o vetor unitário da direção da nossa derivada direcional.

Ele é o vetor que une os pontos ( - 2,0 ) e ( 2 , - 3 ) . O vetor que une os dois u → é:

v → = 2 , - 3 - - 2,0 = 4 , - 3

Passo 2

Beleza! Agora vamos calcular o gradiente de f e aplicar no ponto indicado. Sabemos que o gradiente de uma função qualquer f ( x , y ) é:

∇ f → x , y = ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^

Agora vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro em x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x 2 e - y = 2 x e - y

E aplicando no ponto ( - 2,0 ) temos:

∂ f ∂ x = 2 ⋅ - 2 ⋅ e - 0 = - 4

Agora em y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x 2 e - y = - x 2 e - y

E aplicando no ponto ( - 2,0 ) temos:

∂ f ∂ x = - - 2 2 ⋅ e - 0 = - 4

Então o vetor gradiente no ponto é ∇ f → = - 4 , - 4 .

Agora vamos encontrar o vetor unitário u → .

Mas ele deve ser unitário, pois só queremos sua direção, sem influência no valor da derivada:

u → = v v = 4 , - 3 4 2 + - 3 2

Então dividimos o vetor pelo seu modulo:

u → = 4 , - 3 25

u → = 4 5 , - 3 5

Passo 3

Agora vamos juntar esses dois resultados e fazer o produto escalar entre eles:

D u → f - 2,0 = 4 5 , - 3 5 ⋅ - 4 , - 4

Multiplicando cada coordenada e realizando a soma desse produto:

D u → f - 2,0 = - 4 ⋅ 4 5 - 3 5 ⋅ 4

D u → f - 2,0 = - 16 5 + 12 5

Temos então:

D u → f - 2,0 = - 4 5

Tranquilo? Vamos pra próxima?

Resposta

- 4 5

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