Determine a derivada direcional de f no ponto dado na direçãoindicada. fx ,y = x 2 e - y,( - 2 ,0 ) , na direção do ponto( 2 ,- 3 )

Enunciado

Oie, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje, meu querido amigo.

A derivada direcional de uma função é o produto escalar do vetor gradiente de no ponto com o vetor direcional unitário. Ela é dada pela relação:

é o vetor gradiente, e é dado por:

Em que e são as derivadas parciais da função. Já:

É o vetor unitário da direção da nossa derivada direcional.

Ele é o vetor que une os pontos e . O vetor que une os dois é:

Beleza! Agora vamos calcular o gradiente de e aplicar no ponto indicado. Sabemos que o gradiente de uma função qualquer é:

Agora vamos calcular as derivadas parciais. Primeiro em :

E aplicando no ponto temos:

Agora em :

E aplicando no ponto temos:

Então o vetor gradiente no ponto é .

Agora vamos encontrar o vetor unitário .

Mas ele deve ser unitário, pois só queremos sua direção, sem influência no valor da derivada:

Então dividimos o vetor pelo seu modulo:

Agora vamos juntar esses dois resultados e fazer o produto escalar entre eles:

Multiplicando cada coordenada e realizando a soma desse produto:

Temos então:

Tranquilo? Vamos pra próxima?