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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 43

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x y z 2 = 6 ,                   ( 3 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Faaala galera! Tudo certo?

Nessa questão nós temos a superfície

x y z 2 = 6

e queremos obter a equação do plano tangente a ela no ponto ( 3,2 , 1 ) , bem como a reta tangente nesse mesmo ponto.

Para isso, vamos interpretar a superfície dada com uma superfície de nível 0 da função, ou seja, se tivermos uma função

f x , y , z = x y z 2 - 6

a nossa superfície é a superfície de nível tal que f x , y , z = 0 , beleza?

Além disso, nós sabemos que o vetor gradiente de uma função é perpendicular às suas curvas ou superfícies de nível, logo, o vetor normal à superfície será o seu gradiente, dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Dada uma superfície, o plano tangente a ela no ponto x 0 , y 0 , z 0 é dado por

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 ⋅ z - z 0 = 0

Portanto, precisamos calcular o gradiente no ponto 3,2 , 1 e depois aplicar na equação acima.

Passo 2

Como determinamos a reta normal à superfície no ponto dado?

Ora, sabemos que o gradiente será perpendicular à superfície nesse ponto, então ele dará a direção normal à superfície.

Dessa forma, a reta que passa por esse ponto e é normal à superfície será paralela ao vetor gradiente. Assim, qualquer ponto da reta é obtido se fizermos a multiplicação de ∇ f x 0 , y 0 , z 0   por um número real, pois estaremos esticando ou comprimindo esse vetor.

Matemáticamente, a reta será dada por:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + t ⋅ ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 )

Dito isso, vamos às contas...

Passo 3

Como falamos, o vetor normal ao plano será o gradiente dessa função:

f x , y , z = x y z 2 - 6

e

∇ f x , y , z = ( y z 2 , x z 2 ,   2 x y z )

Usando x ,   y ,   z = ( 3 ,   2 ,   1 ) :

∇ f ( 3,2 , 1 ) = ( 2 ,   3 ,   12 )

Esse é o vetor normal do plano tangente e o vetor diretor da reta tangente!

Passo 4

A equação do plano tangente é dada por:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 ⋅ z - z 0 = 0

Assim,

2 x - 3 + 3 y - 2 + 12 z - 1 = 0

Abrindo os termos, teremos:

2 x - 6 + 3 y - 6 + 12 z - 12 = 0

Logo,

2 x + 3 y + 12 z = 24

É a equação do plano tangente à superfície x y z 2 = 6 .

Passo 5

Já para a reta normal:

x , y , z = x 0 ,   y 0 , z 0 + t   ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 )

Assim,

x , y , z = 3 ,   2 ,   1 + t   ( 2 ,   3 ,   12 )

onde t ∈ R .

Resposta

2 x + 3 y + 12 z = 24

x , y , z = 3 ,   2 ,   1 + t   ( 2 ,   3 ,   12 )

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