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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 45

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x + y + z = e x y z ,                   ( 0 ,   0 ,   1 )

Passo 1

Oie, amigo. Vou te ajudar nessa resolução hoje.

Queremos a equação do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado. Para isso, vamos interpretar a superfície com uma superfície de nível 0 da função

f x , y , z = x + y + z - e x y z

A equação do plano tangente é dada pelo produto escalar:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ ∇ f = 0

Então veja que deveremos encontrar o gradiente da nossa função, e o ponto x 0 , y 0 , z 0 é o ponto que nos foi dado no enunciado.

Já a equação da reta normal é dada por:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Passo 2

Vamos começar com o gradiente:

f x , y , z = x + y + z - e x y z

Veja que precisamos aplicar a regra da cadeia em e x y z :

f x = 1 - y z e x y z

E continuando nossa derivação parcial:

f y = 1 - x z e x y z

E por ultimo:

f z = 1 - x y e x y z

Temos então que nosso gradiente é:

∇ f x , y , z = ( 1 - y z e x y z , 1 - x z e x y z ,   1 - x y e x y z )

Usando x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   1 ) :

∇ f = ( 1 ,   1 ,   1 )

Esse é o vetor normal do plano tangente e o vetor diretor da reta tangente!

Passo 3

A equação do plano tangente é dada pelo produto escalar:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ ∇ f = 0

Assim,

x - 0 ,   y - 0 ,   z - 1 ⋅ 1 ,   1 ,   1 = 0

Portanto,

x + y + z - 1 = 0

Logo,

x + y + z = 1

Passo 4

Já para a reta normal:

x - x 0 F x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 F y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 F z x 0 , y 0 , z 0

Substituindo:

x - 1 = y - 1 = z - 1 - 1

Temos então que:

x = y = z - 1

Resposta

x + y + z = 1

x = y = z - 1

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