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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 44

Encontre uma equação (a) do plano tangente e (b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

x y + y z + z x = 5 ,                   ( 1 ,   2 ,   1 )

Passo 1

Faaala galera! Tudo certo?

Nessa questão nós temos a superfície

x y + y z + z x = 5

e queremos obter a equação do plano tangente a ela no ponto ( 1 , 2,1 ) , bem como a reta tangente nesse mesmo ponto.

Para isso, vamos interpretar a superfície dada com uma superfície de nível 0 da função, ou seja, se tivermos uma função

f x , y , z = x y + y z + z x - 5

a nossa superfície é a superfície de nível tal que f x , y , z = 0 , beleza?

Além disso, nós sabemos que o vetor gradiente de uma função é perpendicular às suas curvas ou superfícies de nível, logo, o vetor normal à superfície será o seu gradiente, dado por

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Dada uma superfície, o plano tangente a ela no ponto x 0 , y 0 , z 0 é dado por

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 ⋅ z - z 0 = 0

Portanto, precisamos calcular o gradiente no ponto 1 , 2,1 e depois aplicar na equação acima.

Passo 2

Como determinamos a reta normal à superfície no ponto dado?

Ora, sabemos que o gradiente será perpendicular à superfície nesse ponto, então ele dará a direção normal à superfície.

Dessa forma, a reta que passa por esse ponto e é normal à superfície será paralela ao vetor gradiente. Assim, qualquer ponto da reta é obtido se fizermos a multiplicação de ∇ f x 0 , y 0 , z 0   por um número real, pois estaremos esticando ou comprimindo esse vetor.

Matemáticamente, a reta será dada por:

x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + t ⋅ ∇ f ( x 0 , y 0 , z 0 )

Dito isso, vamos às contas...

Passo 3

Como falamos, o vetor normal ao plano será o gradiente dessa função:

f x , y , z = x y + y z + z x - 5

e

∇ f x , y , z = ( y + z , x + z ,   x + y )

Usando x ,   y ,   z = ( 1 ,   2 ,   1 ) :

∇ f ( 1,2 , 1 ) = ( 3 ,   2 ,   3 )

Esse é o vetor normal do plano tangente e o vetor diretor da reta tangente!

Passo 4

A equação do plano tangente é dada por:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 ⋅ x - x 0 + ∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z 0 ⋅ y - y 0 + ∂ f ∂ z x 0 , y 0 , z 0 ⋅ z - z 0 = 0

Assim,

3 x - 1 + 2 y - 2 + 3 z - 1 = 0

Abrindo os termos, teremos:

3 x - 3 + 2 y - 4 + 3 z - 3 = 0

Logo,

3 x + 2 y + 3 z = 10

É a equação do plano tangente à superfície

x y + y z + z x = 5

Passo 5

Já para a reta normal:

x , y , z = x 0 ,   y 0 , z 0 + t   ∇ f

Assim,

x , y , z = 1 ,   2 ,   1 + t   ( 3 ,   2 ,   3 )

onde t ∈ R .

Resposta

3 x + 2 y + 3 z = 10

x , y , z = 1 ,   2 ,   1 + t   ( 3 ,   2 ,   3 )

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Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo θ . f x , y = e x cos ⁡ y , 0 ,0 ,θ = π / 4
A segunda derivada direcional de f ( x , y ) é D u 2 f x , y = D u D u f x , y Se f x , y = x 3 + 5 x 2 y + y 3 e u → = 3 5 , 4 5 , calcule D u 2 f ( 2 ,1 ) .
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → . f x , y = x x 2 + y 2 , 1 ,2 ,v → = ( 3 ,5 )
Mostre que a soma das interseções x , y e z de qualquer plano tangente à superfície x + y + z = c é uma constante.