Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 31
31. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola, que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1,2,2) é de 120°.
a) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3).
b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.
Passo 1
Opaaa... Vamos interpretar esse enunciado cheeeio de palavras?
A primeira coisa que sabemos é que ele vai dar uma equação pra temperatura, né? E que a temperatura é inversamente proporcional à distância do centro da bola.
Booom... a distância do centro da bola é o raio, concorda??? E também, já podemos definir uma constante na parte de cima (só pra usar o sinal de igual e tirar aquele de proporcional), que não podemos afirmar que é 1, beleza?
Maaas lembra como é a esqueção de uma esfera centrada na origem??? (que é uma bola)
E dái a gente pode achar o raio:
Ohhhh.... então achamos uma equação pra temperatura:
Agora nós temos que no ponto a temperatura é . Então a gente substitui na equação e acha o .
Agoraaa sim a equação ta completinha:
Para encontrarmos a taxa de variação de uma função em uma direção, deveremos utilizar a derivada direcional:
Em que é o gradiente da função e é o vetor unitário da direção para qual queremos calcular.
Passo 2
Pra responde a letra a) vamos calcular o gradiente de no ponto :
Derivando parcialmente:
Veja que precisaremos aplicar a regra da cadeia aqui:
Agora para :
E por ultimo para :
Temos que o vetor gradiente é então:
Passo 3
No ponto :
E vamos achar o vetor direção do ponto até :
Maaas precisamos normalizar, então:
E pra achar a taxa a gente faz o produto escalar:
Multiplicando cada coordenada de um vetor pela sua correspondente no outro vetor:
Passo 4
Agora pra resolver a letra b) vamos pegar a derivada direcional que achamos na letra a) (mais conhecida como gradiennte:
Podemos escrever assim:
Entãooo... tem um teorema no livro que diz:
“Suponha que seja uma função diferenciável de duas ou três variáveis. O valor máximo da derivada direcional é ocorre quando tem a mesma direção do vetor gradiente ”
E no nosso caso aqui .
Vamos pegar um ponto qualquer e um ponto que é pra onde o ponto vai apontar. (beeem parecido com o que a gente fez no item a), reparou?)
Então a gente teria o vetor:
Daí precisamos lembrar que pra dois vetores terem a mesma direção eles precisam ser proporcionais.
E isso só vai acontecer se : (que é a origem)
Repara que tanto em e em temos . Daí mostramos que eles têm a mesma direção somente se estiver apontando para a origem.