Deteremine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.

f(p, q) = q * e^(-p) + p * e^(-q), (0, 0)

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade juntinhos

Aqui iremos encontrar a taxa de variação máxima da função:

f p , q = q e - p + p e - q

No ponto:

0 , 0

Primeiramente calculamos as derivadas parciais da nossa função, com isso iremos encontrar o gradiente:

∇ f p , q =   f p , f q

Depois iremos colcoar o ponto que nos foi dado nesse gradiente.

Para achar a taxa derivação máxima basta calcular o módulo do vetor gradiente. A direção da taxa máxima é a do vetor gradiente no ponto dado.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o gradiente, temos nossa função:

f p , q = q e - p + p e - q

A derivada parcial é encontrada derivando em relação a variável que queremos e considerando todas as outras como constante:

f p = e - q + q e - q

f q = e - p + p e - q

Teremos então nosso gradiente como:

∇ f p , q =   f p , f q =   e - q + q e - q , e - p + p e - q

Passo 3

Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:

∇ f p , q =   e - q + q e - q , e - p + p e - q

∇ f 0,0 = 1,1

Veja que a direção de máxima variação é a:

∇ f 0,0 = 1,1

E a taxa máxima é a:

∇ f ( 0,0 ) =   ( 1 2 + 1 2 ) = 2

Resposta

∇ f ( 0,0 ) =   2

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