Admita que T ( x , y )   =   16   -   2 x ²   -   y ² represente uma distribuição de temperatura no plano x y . Determine uma parametrização para a trajetória descrita por um ponto P que se desloca, a partir do ponto ( 1,2 ) , sempre na direção e sentido de máximo crescimento da temperatura.

Passo 1

Questãozinha de gradiente hein galera! (particularmente eu amo essas questões) Vamos dividir ela em passos e ir matando a questão de pouquinho hein poquinho, beleza?! SIMBORAAA! Primeiro, temos que sabe que o vetor gradiente mostra no plano x y a direção de maior crescimento da função. Caso você não saiba, vetor gradiente é um vetor formado pelas derivadas parcias de x   ( f ' x )   e   d e   y ( f ' y ) .

Passo 2

Portanto galera, sabemos que se a nossa função corresponde a T ( x , y )   =   16   -   2 x ²   -   y ² , para saber o vetor gradiente basta deriva-la! Logo, nosso gradiente é igual a:

T x , y =   16   -   2 x 2 -   y 2

T = T ' x , y = ( - 4 x , - 2 y )

Passo 3

E esse gradiente no nosso ponto... ele é igual a quanto?

T = ( - 4 x , - 2 y )

P = ( 1,2 )

Logo,

T = ( - 4 , - 4 )

Agora temos só que parametrizar nossa reta!!

Passo 4

Sabemos que uma reta é composta por uma constante somada uma coisa que multiplica a variável que parametriza:

X = P + x , y t

Para o nosso caso:

X = 1,2 + - 4 , - 4 t

Assim:

x = 1 - 4 t e y = 2 - 4 t

Onde t é meu parâmetro!

Resposta

x = 1 - 4 t e y = 2 - 4 t

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