Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 37
14.37. Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados
Exercício 51
Passo 1
Olá, vamos resolver essa atividade aqui juntos.
A primeira coisa que a gente precisa fazer, é relembrar o exercício da seção . O enunciado é esse:
“Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser L, qual é o maior volume possível?”
Seguinte, a nossa restrição é o comprimento diagonal de uma caixa retangular, então fica assim
Agora para resolver com os multiplicadores de Lagrange precisamos conhecer , como estamos falando do volume de uma caixa retangular:
Então iremos fazer o produto:
Onde e são os gradientes dessas funções. A partir daí poderemos encontrar os pontos críticos e encontrar o volume máximo.
Passo 2
Vamos calcular o gradiente:
Para derivar parcialmente o que fazermos é derivar em relação a variável de derivação e considerar as outras variáveis como constantes. Fazendo isso, encontramos nosso gradiente como:
E também precisamos do gradiente de :
Fazendo o mesmo aqui, a gente encontra:
Realizando o produto:
Passo 3
Vamos começar fazendo a igualdade que a gente citou no primeiro passo:
Realizando a igualdade de cada coordenada:
Em relação a :
Em relação a :
Agora a gente deixa uma variável livre e coloca as outras variáveis em função da variável livre, por exemplo, eu vou deixar como uma variável livre e escrever em função de e em função de também.
Vamos pegar a equação (I)
E a equação (II)
E vamos fazer
Agora vamos fazer essas divisões
Então
E agora vamos pegar a equação (III)
E fazer
Fazendo essas divisões
Então
Passo 4
Agora vamos usar a equação de restrição
Substituindo os valores que achamos:
Agora a gente consegue achar um valor para :
Então:
Então agora podemos determinar o volume: