Seja W(s, t) = F(u(s, t), v(s, t)) onde F , u e v são diferenciáveis, e

u(1,0) = 2

u_s(1,0) = -2

u_t(1,0) = 6

v(1,0) = 3

v_s(1,0) = 5

v_t(1,0) = 4

F(u)(2,3) = -1

F(v)(2,3) = 10

Encontre W_s(1,0) e W_t(1,0) .

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parciais com regra da cadeia, vamos lá!

A questão deu uma função W ( s ,   t ) = F ( u ,   v ) onde u = u s , t e v = v s , t , e pediu as derivadas parciais W s e W t em 1,0 .

Ok, mas como calculamos elas?

Usando a regra da cadeia para funções com múltiplas variáveis!

Para uma função do tipo W ( s , t ) = F u s , t , v s , t as derivadas parciais W s e W t são calculadas da seguinte forma

W s =   ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s

W t =   ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

E todos esses valores a questão nos deu! Então só precisamos substituir e aplicar o ponto!

Passo 2

Estamos buscando as derivadas parciais no ponto s ,   t = 1,0 , de forma que, pelos dados que o enunciado deu, u 1,0 = 2 e v 1,0 = 3 !

Isto é, o ponto s ,   t = 1,0 é equivalente ao ponto u ,   v = 2 , 3

Assim, encontrando W s , temos

W s =   ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ s + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ s

Aplicando os pontos, temos

W s 1 ,   0 =   F u 2,3 ⋅ u s 1,0 +   F v 2,3 ⋅ v s 1,0

W s 1 ,   0 = - 1 ⋅ - 2 + 10 ⋅ 5

W s 1 ,   0 = 52

Da mesma forma, encontrando W t , temos

W t =   ∂ F ∂ u ⋅ ∂ u ∂ t + ∂ F ∂ v ⋅ ∂ v ∂ t

Aplicando os pontos, temos

W t 1 ,   0 =   F u 2,3 ⋅ u t 1,0 +   F v 2,3 ⋅ v t 1,0

W t 1 ,   0 = - 1 ⋅ 6 + 10 ⋅ 4

W t 1 ,   0 = 34

Resposta

W s 1 ,   0 = 52

W t 1 ,   0 = 34

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