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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 27

Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide elíptico x 2 4 + y 2 9 + z = 1 e acima do retângulo R = - 1 ,   1 × - 2 ,   2 .

Passo 1

Faaaaala turminha, tudo bem? Vamos começar!!

Nosso objetivo é calcular o volume de um solido que está abaixo de um paraboloide e acima de um retângulo.

Paraboloide elíptico:

x 2 4 + y 2 9 + z = 1

Retângulo:

R = - 1 ,   1 × - 2 ,   2

E agora? Vamos pensar juntos, beleza?

Primeiro olhe para a região do retângulo, e observe os limites da região. Que são, - 1 ≤ x ≤ 1 , - 2 ≤ y ≤ 2 .

A fórmula geral de volume é a seguinte:

V = ∬ D z ( x , y ) d A

Onde, z é a função que delimita a região, d A = d x d y e D é nossa região de integração, que nesse caso é o retângulo R .

Agora observe, que podemos encontrar z ( x , y ) , isolando z na equação do paraboloide elíptico, ficando:

z ( x , y ) = 1 - x 2 4 - y 2 9

Com essas informações, podemos montar nossa integral e colocar mão na massa. Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar montando nossa integral.

Já sabemos a expressão de z ( x , y ) e os limites de integração, que são:

z ( x , y ) = 1 - x 2 4 - y 2 9

- 1 ≤ x ≤ 1 ,   - 2 ≤ y ≤ 2

Logo, substituindo na integral do volume:

V = ∬ D z ( x , y ) d A

Onde, d A = d x d y .

Vamos ter:

V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 4 - y 2 9 d x   d y

Passo 3

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

V = ∫ - 2 2 ∫ - 1 1 1 - x 2 4 - y 2 9 d x   d y

Integrando em d x , vamos ter:

V = ∫ - 2 2 x - x 3 12 - y 2 x 9 - 1 1 d y

Aplicando os limites de integração:

V = ∫ - 2 2 1 - 1 3 12 - y 2 1 9 - - 1 - ( - 1 ) 3 12 - y 2 ( - 1 ) 9 d y

V = ∫ - 2 2 2 - 2 12 - 2 y 2 9 d y

V + ∫ - 2 2 11 6 - 2 y 2 9   d y

Agora, é só resolver a integral simples que restou em d y .

Integrando, temos:

V = 11 y 6 - 2 y 3 27 - 2 2

Aplicando os limites de integração:

V = 11   ( 2 ) 6 - 2     ( 2 ) 3 27 - 11   ( - 2 ) 6 - 2   ( - 2 ) 3 27

Simplificando, fica:

V = 2 11   3   - 2   ( 2 ) 3 27

V = 2 27 99 - 16

Logo, o volume é:

V = 166 27

Resposta

V = 166 27

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