Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 36
Determine o valor médio de sobre o retângulo dado.
36.
Passo 1
Fala, galera!
A questão nos deu uma função , que está representada como um retângulo dado por , e pede pra gente determinar o valor médio dela. Show, né?
Pessoal, o valor médio de uma função é dado pela fórmula:
Como diz o enunciado, é o retângulo , e portanto, sua área é:
Essa informação de nos ajuda a descobrir também nossos limites de integração.
Substituindo tudo, nossa fórmula vai ficar assim:
Passo 2
Show! Agora vamos calcular a integral dupla.
Vamos começar integrando de dentro pra fora, ou seja, primeiro em relação a
Pela técnica da substituição, vamos chamar
Assim,
Cancelando os termos, ficaremos com
Resolvendo a integral, teremos
Pela divisão de frações, invertemos o denominador e multiplicamos as frações...
Como conhecemos , então
Agora substituindo os limites de integração:
Assim, ficaremos com
Passo 3
Agora vamos integrar em relação a .
Colocando a fração pra fora da integral, como uma constante...
Desenvolvendo a integral, ficaremos com:
Também pela divisão de frações, inverteremos o denominador, passando a multiplicar com ele, mas pra fora da integração, ficando com:
Substituindo pelos limites de integração, teremos agora
Show! 😉