Calcule a integral iterada.int_0^1 int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2) d y d x

int_0^1 int_0^1 x y . sqrt(x^2 + y^2) d y d x = (2)/(15) (2 sqrt(2) - 1)

Enunciado

Galera, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, beleza?

Desse jeito aqui:

Lembre-se de que, quando estamos integrando em relação a , podemos tratar como uma constante, ok?

Vamos começar olhando só para integral de dentro, para não confundir nossa cabeça:

Se podemos tratar como constante, então podemos tirar esse que tá multiplicando pra fora da integral:

Agora para resolver essa integral a gente vai usar a nossa antiga amiga, a substituição simples… Lembra dela? Vamos fazer assim olha:

E agora é substituir isso na nossa integral, vamos ficar com:

Agora, vamos voltar ao , ok? Como , vamos substituir e teremos:

Agora, vamos pegar esse resultado e aplicar na integral de fora (em relação a agora):

Vamos separar em 2 integrais, beleza?

A primeira vamos fazer uma substituição simples (de novo rs)

Nossa integral vai ficar:

Agora voltando ao , vamos ter:

Ainda não vamos substituir os limites de integração, vamos primeiro fazer a outra integral que tem que resolver, ok?

Agora sim! Vamos fazer a subtração e substituir os limites de integração, temos que:

Ainda podemos colocar o em evidência e ficaremos com:

Prontinho! Conseguimos!!