Encontre o volume do sólido delimitado pela superfície z = x sec 2 ⁡ y e pelos planos z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = π 4 .

Enunciado

E aiiiiiiiiii galerinha, tudo bem? Vamos começar!!

Nosso objetivo é encontrar o volume do sólido delimitado pela superfície e pelos planos e .

Vish, agora lascou? Calma, vamos pensar juntos em uma estratégia de resolução!!

Lembre-se da fórmula geral de volume, que é a seguinte:

Onde, é a função que delimita a região, e é nossa região de integração, que nesse caso vai ser delimitado pelos planos.

Observe a variação de e , temos um retângulo que é formado pelos planos. Assim, temos que:

Já temos os intervalos da nossa região .

Agora vamos olhar para . Observe que ele deu no enunciado que varia entre uma função e o plano . Sabendo disso, podemos definir nossa altura .

Que vai ser:

Coisa linda ein!!!! Agora podemos montar nossa integral e colocar mão na massa. Vamos nessa!

Pessoal, vamos montar nossa integral de volume primeiro.

Vamos relembrar. Sabemos que:

Logo, obtemos a seguinte integral:

Agora precisamos começar a integrar. E lembre-se, sempre começamos a integrar de dentro para fora, ou seja, começamos por .

Vamos começar a integrar em .

Integrando, vamos ter:

Aplicando os limites de integração:

Simplificando:

Agora, é só resolver a integral simples que restou.

A integral da secante ao quadrado, é uma integral bastante conhecida. Sabemos que:

Tendo essa informação em mãos, podemos dizer que:

Aplicando os limites de integração, vamos ter: