Utilize a simetria para calcular a integral dupla. ∬ R x y 1 + x 4 d A R = x , y - 1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 }

∫ 0 1 ∫ - 1 1 x y 1 + x 4 d x d y = 0

Enunciado

Fala, galerinha! Tranquilidade?

A questão pede para usarmos a simetria para calcular a integral:

Onde os limites de integração são dados por:

Para isso, precisamos utilizar as relações as relações de simetria de funções, isto é, paridade de funções.

Começaremos com uma função par. Uma função é par quando

Desta forma, uma função par integrada em intervalo simétrico é igual a duas vezes o valor da integral de 0 até o limite do intervalo, isto é,

Já uma função ímpar é aquela em que

Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado final é 0, isto é,

Vamos entender qual é o nosso caso aqui: se nossa função é par ou ímpar e qual forma de calcular a integral por simetria vamos escolher.

Vamos começar colocando os limites de integração. O enunciado nos dá:

Portanto, nossos limites de integração são:

Quando calculamos integrais duplas, precisamos calcular primeiro a integral “de dentro”, que aqui será:

Como estamos integrando em relação a , podemos tirar para fora, já que para nós nesse momento ele é uma constante:

Como:

é uma função ímpar em uma integral de intervalo simétrico . Então sua integral será:

Agora que temos a integral de dentro, vamos calcular a de fora:

Então, nossa integral vale: