Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 37
Utilize a simetria para calcular a integral dupla.
Passo 1
Fala, galerinha! Tranquilidade?
A questão pede para usarmos a simetria para calcular a integral:
Onde os limites de integração são dados por:
Para isso, precisamos utilizar as relações as relações de simetria de funções, isto é, paridade de funções.
Começaremos com uma função par. Uma função é par quando
Desta forma, uma função par integrada em intervalo simétrico é igual a duas vezes o valor da integral de 0 até o limite do intervalo, isto é,
Já uma função ímpar é aquela em que
Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico, o resultado final é 0, isto é,
Vamos entender qual é o nosso caso aqui: se nossa função é par ou ímpar e qual forma de calcular a integral por simetria vamos escolher.
Passo 2
Vamos começar colocando os limites de integração. O enunciado nos dá:
Portanto, nossos limites de integração são:
Quando calculamos integrais duplas, precisamos calcular primeiro a integral “de dentro”, que aqui será:
Como estamos integrando em relação a , podemos tirar para fora, já que para nós nesse momento ele é uma constante:
Como:
é uma função ímpar em uma integral de intervalo simétrico . Então sua integral será:
Passo 3
Agora que temos a integral de dentro, vamos calcular a de fora:
Então, nossa integral vale: