Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 26
26.
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do retângulo .
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo belezinha??
O problema pede para determinar o volume de um sólido abaixo de um paraboloide hiperbólico e acima por um retângulo .
Moleza, né?
Para encontrar o volume, podemos resolver assim:
Em que é a função que governa a superfície superior do nosso sólido, que, nesta questão, é um paraboloide hiperbólico.
Portanto, precisamos isolar o para obter uma função de duas variáveis.
Temos um plano , assim .
Desta forma, temos:
E, como a região é uma região retangular (onde a questão nos deu informações sobre os limites de integração), podemos escrever a nossa integral da seguinte forma:
Tá vendo que nossos limites são opostos entre eles?
É importante lembrar que, seja uma função par, ela satisfaz:
E ao integrarmos ela em relação a um intervalo simétrico, temos:
Agora, só nos basta resolver a integral!
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a . Portanto, temos:
Como a nossa função em relação a é uma função par, temos:
Substituindo pelos limites de integração:
Passo 3
Agora, só nos basta resolver a integral em relação a . Novamente, como a função de integração é uma função par, temos:
Substituindo também os limites de integracionnn...
Showw! 😉