25.

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 4x + 6y - 2z + 15 = 0 e acima do retângulo R = {x, y | -1 ≤ x ≤ 2, -1 ≤ y ≤ 1} .

Passo 1

Fala aí! Tudo joia?

O problema pede para determinar o volume de um sólido limitado acima por um plano  

4 x + 6 y - 2 z + 15 = 0 e abaixo por outro, definido por R = x , y - 1 ≤ x ≤ 2 ,   - 1 ≤ y ≤ 1 } .

O volume pode ser encontrado assim:

V o l u m e = ∬ R F x , y d A

Em que F ( x , y ) é a função que governa a superfície superior do nosso sólido, que, nesta questão, é um plano.

Portanto, precisamos isolar o z para obter uma função de duas variáveis.

Como temos um plano x y , nosso z = 0 .

Desta forma, temos

F x , y = z = 2 x + 3 y + 15 2

E, como a região é uma região retangular, podemos escrever a nossa integral da seguinte forma:

V o l u m e = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y

Agora, só nos basta resolver a integral!

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a x . Portanto, temos:

∫ - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x

x 2 + 3 x y + 15 x 2 - 1 2

Substituindo os limites de integração, teremos:

4 + 6 y + 15 - 1 - 3 y - 15 2

= 9 y + 51 2

Passo 3

Agora, só nos basta resolver a integral em relação a y . Portanto, temos:

∫ - 1 1 9 y + 51 2 d y

9 y 2 2 + 51 y 2 - 1 1

Substituindo também pelos limites...

9 1 2 2 + 51 1 2 - 9 - 1 2 2 + 51 - 1 2

= 9 2 + 51 2 - 9 2 - 51 2 = 51

Prontinho 😉

Resposta

V o l u m e = ∫ - 1 1 ∫ - 1 2 2 x + 3 y + 15 2 d x d y = 51

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