Calcule a integral iterada.

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 c o s x ) d x d y

Passo 1

Faaaala minha turma, tudo bem? Bora lá!

Precisamos calcular a integral iterada abaixo:

∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 c o s x ) d x d y

Como fazer isso?

Você lembra o que é integral iterada? É uma integral que tem mais de uma variável. Observe a integral fornecida, ela tem duas variáveis certo? As variáveis x e y .

Uma dica muito importante, preste atenção!!! Sempre começamos a integrar de dentro para fora, ou seja, vamos começar integrando em d x .

Vamos começar ent��o!

Passo 2

Primeiro vamos resolver a integral mais de dentro!

O diferencial que vem primeiro é d x , então vamos considerar y constante. Bora lá?

∫ - 3 3 ∫ 0 π 2 y + y 2 c o s x   d x d y

Integrando em d x , temos:

∫ - 3 3 y x + y 2 s e n x 0 π 2 d y

Aplicando os limites de integração, vamos ter:

∫ - 3 3 y π 2 + y 2 d y

Passo 3

Agora é só integrar em d y .

∫ - 3 3 y π 2 + y 2 d y

Integrando, vamos ter:

y 2 π 4 + y 3 3 - 3 3

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

3 2 π 4 + 3 3 3 - - 3 2 π 4 + - 3 3 3

Simplificando, temos nossa resposta como:

9 + 9 = 18

Resposta

18

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