Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 15
Calcule a integral dupla.
Passo 1
Faaaala galera, tudo bem?
Nessa questão, temos uma integral dupla e devemos calcular seu valor na região .
E agora? Como fazer?
Primeiro vamos reparar que a região é um retângulo com variando de até e variando também de até .
O diferencial de área é ou . A escolha vai depender da dificuldade de resolver a primeira integral. Como aqui não faz muita diferença, você pode fazer por exemplo.
Sabendo disso, podemos montar nossa integral dupla. E lembre-se sempre começamos a integrar de dentro para fora. Sua integral deve ficar com essa cara:
Bora lá?
Passo 2
Vamos começar montando nossa integral dupla.
Vamos fazer .
Aplicamos uma substituição do tipo:
Assim temos:
Integrando em relação a e depois voltando para a variável , temos:
Aplicando os limites de integração,
Repare que ficamos com uma integral apenas em ! Não pode sobrar nenhum a partir daqui!
Passo 3
Agora é só resolver a integral restante! Ficamos com uma integral simples em .
Lembrando, que a integral da soma dos termos é igual a soma da integral dos termos. Logo,
Na primeira integral precisamos aplicar uma substituição do tipo:
Assim temos:
Integrando, e depois voltando para a variável , vamos ter:
E agora vamos aplicar nos limites:
Simplificando, temos:
Logo,