A figura mostra o mapa de contorno de f no quadrado R = 0,4 × 0,4 .

  1. Use a Regra do Ponto Médio com m = n = 2 para estimar o valor de ∬ R f x , y d A .
  2. Estime o valor médio de f .

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!

Claro, aqui está a resolução atualizada com os passos explicitados em forma de texto:

Primeiramente, determinamos a área total da região R , que é o quadrado com lados de comprimento 4 . Ao dividir essa área em 4 sub-retângulos de igual tamanho, calculamos a área de cada sub-retângulo, o que nos dá ∆ A . Em seguida, calculamos os pontos médios de cada sub-retângulo, que são os pontos onde a função f x , y será avaliada.

Vamos usar a Regra do Ponto Médio para estimar a integral ∬ R f x , y d A , onde R = 0,4 × 0,4 . Para isso, precisamos calcular ∆ A , que é a área de cada sub-região.

Passo 2

(a) Usando a regra do ponto médio temos que os pontos do intervalo utilizado vão ser o ponto médio de cada intervalo, e temos que m = n = 2 , para calcular a integral ∬ R f x , y d A precisamos calcular quem é ∆ A .

Temos que a área total da região vista no mapa é:

A = 4 ∙ 4 = 16

Então ∆ A vai ser:

∆ A = A m × n

16 2 ⋅ 2 = 16 4 = 4

Pronto, agora vamos usar a soma de Riemann para estimar a integral:

∬ R f x , y d A ≈ ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f x i - , y i - ∆ A

��� ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i - , y i - ∆ A

Lembrando que f x i - , y i - são os pontos médios de cada intervalo:

∬ R f x , y d A ≈ ∑ i = 1 2 ∑ j = 1 2 f x i - , y i - ∆ A =

= ∆ A f 1,1 + f 1,3 + f 3,1 + f 3,3

≈ 4 27 + 4 + 14 + 17 ≈ 248

Pronto, o valor estimado da integral ∬ R f x , y d A é 248 .

Passo 3

(b) Temos que para estimar o valor médio de f usamos a expressão:

f m e d = 1 A R ∬ R f x , y d A

Já temos o valor de A R que é igual a 16 , que foi calculado no passo anterior, e acabamos de calcular a integral, então é só substituir os valores:

f m e d = 1 A R ∬ R f x , y d A ≈ 1 16 ∙ 248

= 15,5

Resposta

  1. ∬ R f x , y d A ≈ 248
  2. f m e d = 15,5
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