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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 23

Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3 x + 2 y + z = 12 e acima do retângulo R = x ,   y   0 ≤ x ≤ 1   ,   - 2 ≤ y ≤ 3 }

Passo 1

Pessoal, pra determinar o volume desse sólido, primeiro precisamos escrever uma integral dupla que o descreva. Olhando para o retângulo, já obtemos nossos limites de integração:

V = ∫ - 2 3 ∫ 0 1 z x ,   y d x   d y

Para obter z , vamos isolá-lo na equação do plano:

3 x + 2 y + z = 12

z = 12 - 3 x - 2 y

Então obtemos completamente a integral dupla:

V = ∫ - 2 3 ∫ 0 1 ( 12 - 3 x - 2 y ) d x   d y

Passo 2

Quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

∫ - 2 3 ∫ 0 1 ( 12 - 3 x - 2 y ) d x   d y = ∫ - 2 3 ∫ 0 1 ( 12 - 3 x - 2 y )   d x d y = ∫ - 2 3 12 x - 3 x 2 2 - 2 y x 0 1 d y = ∫ - 2 3 12 - 3 2 - 2 y d y = ∫ - 2 3 21 2 - 2 y   d y

Passo 3

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

∫ - 2 3 21 2 - 2 y   d y = 21 y 2 - y 2 - 2 3 = 21   .   3 2 - 3 2 - 21   .   - 2 2 + - 2 2 = 63 2 - 9 + 21 + 4 = 63 2 + 16 = 63 2 + 32 2 = 95 2

Beleza?

Resposta

95 2

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Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :d) 1 x + y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :f) x cos ⁡ x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :g) y cos ⁡ x y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a :c) x + y
Seja A o retângulo 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 . Calcule ∬ A f x , y d x d y , sendo f x , y igual a : ye x y